Friedrich Engels a émis des jugements sur de nombreux points des mathématiques et de leur philosophie. Que valent ses opinions ? Importante en elle-même, cette question a un intérêt plus général, car les vues d'Engels sur les mathématiques font partie de son « matérialisme dialectique » et leur examen donne un aperçu précieux de cette doctrine.
 

Les connaissances mathématiques d'Engels

Les mathématiques sont une branche si particulière de la vie intellectuelle qu'une question préliminaire doit être posée à quiconque ose, en tant que philosophe, en étudier la nature et les méthodes : que sait-il exactement des mathématiques ? Bien que la réponse à cette question ne détermine pas d'emblée la valeur des solutions proposées par le philosophe, elle n'en constitue pas moins une préparation indispensable à leur examen.

Les programmes des écoles allemandes des années 1830 ainsi que ses propres inclinations orientent le jeune Engels vers une formation plus littéraire que scientifique. Certes, au lycée d’Elberfeld, qu’il quitte avant l’âge de dix-sept ans, il suit des cours de mathématiques et de physique, même avec un résultat satisfaisant, mais ils restent assez élémentaires, et le jeune élève ne semble pas s’y intéresser particulièrement. Ce qui l’attire le plus, ce sont les lettres, les langues et la poésie. Après que l’étude du droit a retenu un moment son attention, il apprend bientôt à devenir homme d’affaires, ce qui ne l’empêche pas de consacrer son temps libre – et il en a largement – à écrire des poèmes, à composer des pièces chorales, à dessiner des caricatures. Employé non rémunéré dans les affaires d’exportation du consul Heinrich Leopold à Brême, il connaît sans doute les règles élémentaires de l’arithmétique, mais aucun document de cette époque – et Engels traverse des années cruciales dans la formation d’un jeune homme – ne montre qu’il s’intéresse aux sciences en général et aux mathématiques en particulier. Engels passe bientôt de la poésie à cette critique mi-littéraire, mi-sociale que la censure s’efforce alors de contenir dans des limites bien définies. Son grand homme de l’époque est Ludwig Börne.

La lecture du livre de Strauss, Das Leben Jesu , dont le premier volume paraît en 1835, donne une nouvelle impulsion au développement intellectuel du jeune homme. Engels abandonne bientôt définitivement la religion. Cependant, à la différence des philosophes français du XVIIIe siècle , qui, dans leur lutte contre la religion, s'appuyaient directement sur les sciences naturelles et les connaissaient plutôt bien, Strauss prend comme point de départ les contradictions des Ecritures, et la rupture du jeune Engels avec la religion ne le plonge pas dans le grand courant des sciences, comme cela arrive si souvent.

Engels entre en contact avec Hegel par l'intermédiaire de Strauss, et il est immédiatement séduit. Il a dix-neuf ans. Contrairement à Marx, qui avait étudié les philosophes grecs, Descartes, Spinoza, Kant, Leibniz, Fichte avant de s'attaquer à Hegel, Engels se plonge dans les livres de ce dernier sans guère de connaissances philosophiques. Le caractère encyclopédique des œuvres de Hegel, où il y a réponse à tout, fait qu'Engels voit bientôt bien des problèmes à travers les lunettes du maître sorcier. Bien des années plus tard, lorsqu'il se penche sur une question, il lit d'abord ce que le « vieil homme » a écrit à ce sujet.

En 1869, à quarante-neuf ans, Engels se retire des affaires et part vivre à Londres. Il écrit alors

J'ai procédé, dans la mesure où cela m'était possible, à une « mue » complète en mathématiques et en sciences naturelles, et j'y ai consacré la majeure partie de huit ans
[1935, page 10].

Quelques lignes plus bas, il parle de

ma récapitulation des mathématiques et des sciences naturelles [1935, page 11].

Quelles sont les connaissances mathématiques d'Engels à la veille de cette « mue » ? Il n'existe aucun document positif qui permettrait d'établir quel a été son intérêt pour les mathématiques entre ses années d'école et 1869. Une image claire se dégage cependant de la masse des documents biographiques. Les noms de mathématiciens et les titres d'ouvrages mathématiques sont absents des écrits et des lettres où l'on trouve des centaines de noms et de titres appartenant à de nombreuses sphères d'activité intellectuelle. La correspondance entre Marx et Engels est particulièrement précieuse à cet égard, car elle nous permet de suivre les activités des deux amis, leurs lectures, les fluctuations de leurs intérêts, de semaine en semaine, parfois de jour en jour. Or, pas plus ici que dans les autres écrits d'Engels qui précèdent la « mue » de 1869, on ne trouve trace d'un intérêt particulier, ou simplement d'un intérêt quelconque, pour les mathématiques de la part d'Engels. Quand Marx aborde un point mathématique, comme par exemple dans sa lettre du 31 mai 1873, où il parle de son projet de

déterminer mathématiquement les principales lois des crises [Marx et Engels 1931, page 398],

Engels ne réagit pas.

La seule information que nous puissions recueillir sur le sujet est qu'Engels a lu en 1864 le Traité d'arithmétique de Louis Benjamin Francœur , publié à Paris en 1845. Il s'agit d'un ouvrage d'arithmétique élémentaire, à l'usage des employés de banque et des commerçants. Le fait même qu'Engels étudie un tel ouvrage et le commente dans une lettre à Marx (le 30 mai 1864 ; les commentaires d'Engels sont insignifiants [Marx et Engels 1930, page 173]), alors qu'il ne mentionne aucun autre ouvrage mathématique pendant une trentaine d'années, suffit à mesurer le niveau de son intérêt et de ses connaissances en mathématiques avant 1869.

Il semble donc établi que, jusqu'à la « mue » de 1869, Engels ne possède guère que les rudiments de l'arithmétique élémentaire. Quant à cette « mue » elle-même, en quoi consiste-t-elle ? Dans les sciences autres que les mathématiques, par exemple en chimie, en physique ou en astronomie, la liste des livres qu'Engels mentionne est suffisamment abondante pour nous permettre de suivre ses progrès dans ces domaines avec une précision satisfaisante. Mais, en mathématiques, la liste est assez pauvre. Engels lit beaucoup plus, par exemple, en astronomie, science assez spéciale à cette époque, que dans tout le domaine des mathématiques pures. En fait, un seul ouvrage de mathématiques pures, autant que nous puissions le savoir, a été étudié par Engels, celui de Bossut (voir Engels 1935, pages 392 et 636).

Charles Bossut publie son Traité de calcul différentiel et de calcul intégral en l'an VI (1798). Il s’agit clairement d’un travail mineur d’un mathématicien mineur. Le livre n'a jamais été réimprimé. Ni le Grand dictionnaire universel du XIXe siècle de Larousse , ni La grande encyclopédie , ni l'Histoire des sciences mathématiques et physiques de Maximilien Marie n'en font mention dans la liste assez longue des ouvrages de Bossut. Marie ajoute :

Nous ne dirons rien des ouvrages didactiques de Bossut : ils ont vécu le temps que vivent les ouvrages de ce genre, vingt ou trente ans, après quoi, les méthodes ayant changé, les étudiants doivent avoir recours à de nouveaux guides [1886, page 24].

Ce jugement assez sévère était encore trop clément dans ce cas, car Bossut avait suivi Newton dans sa présentation des principes du calcul infinitésimal, et le traité fut publié au moment même où Lagrange introduisait une nouvelle rigueur dans ce domaine, de sorte que Bossut dut ajouter à la fin de son introduction le paragraphe suivant :

Le citoyen Lagrange a présenté la métaphysique du calcul sous un jour nouveau, dans sa Théorie des fonctions algébriques ; mais je n'ai eu connaissance de cet excellent ouvrage qu'après que le mien fut achevé et même largement imprimé [1798, page lxxx].

Comment, quatre-vingts ans plus tard, Engels peut-il prendre pour guide, dans une question fondamentale, un ouvrage déjà périmé au moment de sa publication, et suivre ce guide précisément dans le domaine où il était devenu le plus obsolète ? La seule réponse possible à cette question est qu'Engels ne connaissait pas les mathématiques du XIXe siècle et ne s'y intéressait pas, qu'il a trouvé le livre de Bossut par hasard et qu'il n'a pas hésité à l'utiliser car les idées périmées de l'auteur lui semblaient confirmer sa propre conception du calcul infinitésimal, héritée de Hegel.

Notons que la conception du calcul d'Engels est, comme nous le verrons, une des pierres angulaires de son édifice philosophique, car c'est là que réside la « dialectique » des mathématiques. L'importance de cette question pour ses conceptions philosophiques rend encore moins justifiable qu'il ait suivi dans ce domaine un guide aussi désuet que Bossut.

Engels semble être aussi peu familier avec l'histoire du calcul infinitésimal qu'avec ses principes. Dans un manuscrit intitulé Dialektik und Naturwissenschaft ( Dialectique et sciences naturelles ) et écrit entre 1873 et 1876, Engels mentionne Leibniz comme

le fondateur des mathématiques de l'infini, face auquel l'âne amoureux de l'induction [ Induktionsesel ] Newton apparaît comme un plagiaire et un corrupteur [ 1935, page 603 ]. [1]

Par « mathématiques de l'infini », Engels entend, selon une expression du XVIIIe siècle, le calcul infinitésimal. Sa dénonciation de Newton n'est, en un langage plus grossier , qu'une simple répétition de ce qu'on peut trouver chez Hegel, pour qui l'invention du calcul, faussement attribuée à Newton par les Anglais, serait exclusivement due à Leibniz (voir par exemple Hegel 1836, page 451).

Quelques années plus tard, en 1880, donc après plus de dix ans de « mue », Engels écrit dans la préface de Dialektik der Natur que le calcul infinitésimal a été établi

par Leibniz et peut-être Newton. [1935, page 484]

Nous sommes encore bien loin de la vérité.

C'est précisément sur cette question qu'Engels aurait pu s'appuyer sur les travaux de Bossut. Le « Discours préliminaire » du premier volume contient une histoire de l'invention du calcul qui est l'un des rares points positifs du livre. Commencée au début du XVIIIe siècle, la controverse sur la priorité de l'invention était presque réglée lorsque Bossut écrivait dans les dernières années du siècle, de sorte qu'il pouvait conclure :

Ces deux grands hommes [Newton et Leibniz] sont arrivés, par la force de leur génie, au même but par des voies différentes. [1798, page li]

Si les mérites respectifs de Newton et de Leibniz étaient évidents pour Bossut, ils devaient l'être encore plus pour Engels, écrivant quatre-vingts ans plus tard. Mais non, il lui faut répéter Hegel, sur un point où le philosophe a manifestement tort.

Considérons les nombres complexes, dont la théorie fut achevée au XIXe siècle. C'est un sujet facile et, semble-t-il, intéressant pour un homme comme Engels, sans formation mathématique. Nous ne trouvons dans ses écrits que trois brèves remarques. Elles montrent que, bien qu'Engels connaisse l'existence des nombres complexes, il n'en a jamais saisi la signification. Dans son livre contre Dühring, il distingue les nombres complexes, « les créations et imaginations libres de l'esprit » (1935, page 43), des autres notions mathématiques, qui sont abstraites du « monde réel ». Le même livre contient quelques phrases sur la racine carrée de moins un, qui est, selon Engels,

non seulement une contradiction, mais même une contradiction absurde, une véritable absurdité. [1935, page 125] [2]

Enfin, dans un article inédit, probablement écrit en 1878 et intitulé Die Naturforschung in der Geisterwelt ( La science naturelle dans le monde des esprits ), il écrit :

Les mathématiciens métaphysiciens ordinaires se vantent avec une immense fierté de l'irréfutabilité absolue des résultats de leur science. Parmi ces résultats, cependant, se trouvent les grandeurs imaginaires, auxquelles on attribue ainsi une certaine réalité. Lorsqu'on s'est habitué une fois à attribuer à la [racine carrée de] -1 ou à la quatrième dimension une sorte de réalité extérieure à notre propre tête, il n'est pas très important d'aller plus loin et d'accepter également le monde spirituel des médiums. [1935, page 716]

Ces brèves remarques révèlent combien Engels comprend peu ce qu'est un nombre complexe, bien que ces nombres ne soient plus une nouveauté à l'époque où il écrivait. Après quelques précurseurs, Gauss avait donné en 1831 une représentation géométrique des nombres complexes qui leur enlevait toute trace de mystère. Cette représentation était rapidement devenue courante vers le milieu du siècle et, en 1855 par exemple, un livre tout à fait élémentaire pouvait affirmer :

Une analyse appropriée montrera probablement que le sujet des expressions imaginaires ne présente pas plus de difficultés que celui des quantités négatives, qui est maintenant si bien établi qu'il ne laisse rien à désirer. [Davies et Peck 1855, page 301]

Vingt ans plus tard, Engels bute encore sur ces difficultés « parfaitement réglées ».

Prenons un autre développement important des mathématiques au XIXe siècle, les géométries non euclidiennes et à n dimensions. Après de nombreuses tentatives vaines pour prouver le postulat des parallèles d'Euclide, les mathématiciens commencèrent au XVIIIe siècle à se demander ce que son rejet impliquerait. Lobatchevskii présenta les principes d'une nouvelle géométrie rejetant le postulat devant le département de mathématiques et de physique de l'université de Kazan en février 1826. Mais sa conférence ne fut pas publiée et ne laissa aucune trace. En 1829-1830, il présenta ses nouvelles conceptions dans une revue imprimée par la même université, mais elles ne pénétrèrent pas immédiatement le monde mathématique, en raison de l'éloignement et de la langue de la publication. En 1832, János Bolyai, qui avait conçu une nouvelle géométrie quelques années plus tôt, indépendamment de Lobatchevskii, publia son célèbre Appendice . On apprit alors que Gauss était en possession de résultats similaires, mais non publiés, depuis quelques années.

Lobatchevski commença bientôt à publier ses travaux en français et en allemand, afin qu'ils soient plus facilement lus en Europe occidentale. Les idées nouvelles, cependant, firent lentement leur chemin jusqu'au milieu du siècle. Vient alors la conférence probatoire de Riemann, « Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen » (Sur les hypothèses qui sont à la base de la géométrie), le 10 juin 1854. La Pangéométrie de Lobatchevski , publiée en français à Kazan en 1856, est traduite en allemand en 1858 et en italien en 1867. L'Appendice de Bolyai est traduit en français en 1872. L'ouvrage fondamental de Riemann, imprimé en 1868, est traduit en français en 1870 et, en 1873, publié en anglais dans Nature , une revue qu'Engels lisait probablement régulièrement à cette époque. Les manuscrits inédits et les lettres privées de Gauss commencent à être connus ; certaines de ses lettres sur la géométrie non euclidienne sont traduites en français en 1866. Helmholtz donne deux conférences, en 1868 et 1870, sur les fondements de la géométrie. L'important ouvrage de Beltrami, montrant pour la première fois que la géométrie non euclidienne a la même cohérence logique que la géométrie euclidienne, est publié en 1868 et traduit en français en 1869.

La leçon probatoire de Riemann de 1854 marque également un grand pas en avant pour les géométries à n dimensions. L'Ausdehnungslehre de Grassmann , dont la première édition date de 1844, et les travaux de Cayley à partir de la même année ont déjà posé les bases des nouvelles théories. Dès lors, les progrès sont rapides. Cayley fait date Un sixième mémoire sur la quantique est publié en 1860 et une édition augmentée de l' Ausdehnungslehre en 1862.

Toutes ces dates montrent que l'année 1870 marque le moment où le monde mathématique se familiarise avec les géométries non euclidiennes et n-dimensionnelles. À cette date, des pionniers clairvoyants ont déjà commencé à utiliser les nouvelles conceptions mathématiques dans d'autres domaines de la science. Dès 1854, Riemann suggère que certaines régions de notre espace pourraient être non euclidiennes et que seule l'expérience peut en décider. En 1870, Clifford développe l'idée que les axiomes d'Euclide ne sont pas valables dans de petites portions de notre espace et que

cette variation de la courbure de l'espace est ce qui se produit réellement dans ce phénomène que nous appelons le mouvement de la matière [1870, page 158].

À partir de 1863, Mach tente d'appliquer les nouvelles géométries à la physique et à la chimie. Après 1867, Helmholtz tente de relier les nouvelles idées sur les fondements de la géométrie à ses recherches en physiologie.

Les années 1870 voient aussi le début de la vulgarisation des nouvelles conceptions. Helmholtz les présente devant un groupe de non-mathématiciens à Heidelberg (dans les ouvrages de Helmholtz cette conférence est toujours datée de 1870 ; cependant, dans son 1876, Helmholtz lui-même dit que la conférence a été donnée en 1869). Pour se faire comprendre, il utilise une illustration qui sera reprise dans les innombrables ouvrages de vulgarisation qui vont bientôt paraître, celle d'êtres intelligents à deux dimensions vivant et se déplaçant sur une surface courbe et incapables de rien percevoir en dehors de cette surface ; leur géométrie serait non euclidienne. Remarquons qu'une version légèrement abrégée de cet exposé populaire est publiée le 12 février 1870 dans The Academy , revue publiée à Londres, donc facilement accessible à Engels. En 1876, Helmholtz publia une version élargie de sa conférence sous le titre Ueber den Ursprung und die Bedeutung der geometrischen Axiome ( De l'origine et de la signification des axiomes géométriques ) dans la troisième partie de ses Populäre wissenschaftliche Vorträge (Les idées populaires en science) , un livre qu'un homme comme Engels, en pleine période de « mue », ne peut guère ignorer. Engels cite à plusieurs reprises la deuxième partie du livre de Helmholtz dans ses écrits de cette période, il a donc dû lire la troisième partie.

À partir de 1870, les géométries non euclidiennes et à n dimensions suscitent la curiosité générale, un peu comme la théorie de la relativité à la fin de la Première Guerre mondiale et la fission nucléaire à la fin de la Seconde. Le philosophe allemand Hermann Lotze, qui n'était pas du tout mathématicien, écrit à cette époque-là

la quatrième dimension de l'espace dont on parle tant [...], et qui est aujourd'hui évoquée de toutes parts. [1879, pages 254–255]

C'est précisément à cette époque qu'Engels se trouve en pleine « mue » scientifique. Il ne prête cependant aucune attention à ces développements. C'est d'autant plus surprenant que, d'une part, les nouvelles conceptions mathématiques ont des implications philosophiques extrêmement importantes et, d'autre part, leur étude ne requiert pas de connaissances mathématiques ou de techniques très approfondies. Helmholtz avait déjà noté ces deux points en 1870 :

C'est une question qui, je crois, peut intéresser en général tous ceux qui ont étudié ne serait-ce que les éléments des mathématiques, et qui, en même temps, est directement liée aux problèmes les plus élevés concernant la nature de l'entendement humain. [1870, page 128]

Bref, c'est précisément le genre de questions qui, semble-t-il, devrait passionner un homme comme Engels à cette époque de sa vie intellectuelle. Il n'en parle cependant que dans l'article déjà cité, Die Naturforschung in der Geisterwelt .

Le spiritualisme moderne, né aux États-Unis vers le milieu du XIXe siècle, s’épanouit peu après en Europe. Dans les années 1870, l’intérêt pour ce courant était grand et les polémiques nombreuses. C’est précisément dans ces mêmes années que se répandirent les nouvelles théories mathématiques. Zöllner, un astrophysicien de Leipzig, non dépourvu de talents scientifiques, se convertit au spiritualisme et tenta d’expliquer les phénomènes spiritualistes par la quatrième dimension. Dans son article, Engels se moque de Zöllner, mais, tout autant que de lui, il se moque de la quatrième dimension ; il se moque même des résultats mathématiques établis. L’article ne fait pas le moindre effort pour comprendre les nouveaux développements mathématiques et produit une impression très pénible.

Cet article nous apprend au moins qu'Engels connaît l'existence des nouvelles géométries. Mais il ne fait que les mettre pratiquement sur le même plan que le spiritualisme. Ces idées bouleversantes et passionnantes, promises à un grand avenir, riches d'implications philosophiques, discutées à l'époque par tous ceux qui s'intéressent un peu aux sciences, ne retiennent pas du tout l'attention d'Engels, qui s'en moque tout simplement. Une résistance aussi forte de sa part aux idées nouvelles ne peut en aucun cas être due à des causes épisodiques. Elle a ses racines dans sa propre conception des mathématiques. Nous allons bientôt comprendre pourquoi l'esprit d'Engels est fermé à ces questions. En attendant, constatons le fait.

Examinons encore une fois les connaissances mathématiques d'Engels. Dans ses notes sur la Dialektik der Natur , commentant le changement de base dans l'écriture des nombres, il déclare que

Toutes les lois des nombres dépendent du système utilisé et sont déterminées par celui-ci. [1935, page 671]

Ce n'est pas vrai. Le passage d'une base à une autre ne fait que modifier les symboles qui représentent le nombre, mais en aucun cas ses propriétés arithmétiques. Pour cette fausse affirmation, Engels donne un exemple tout aussi faux :

Dans tout système à base impaire, la différence entre nombres pairs et impairs disparaît. [1935, page 671]

Un nombre reste pair ou impair indépendamment de la base utilisée. Il ne serait pas sans intérêt de montrer comment Engels a été conduit par sa « dialectique » à une affirmation aussi insensée, mais il suffit de noter ici, dans cette étude des connaissances mathématiques d'Engels, que tout cela est de l'arithmétique tout à fait élémentaire et ne perturberait pas un étudiant moyen de seize ans.

L'image qui se dégage de cette recherche est trop sombre et quelque peu déformée, objectera-t-on. En effet, on pourrait dire qu'Engels n'accorde pas beaucoup d'attention aux mathématiques pures pendant sa « mue », mais qu'il lit un certain nombre de livres d'astronomie et de physique, où les mathématiques sont utilisées à chaque page, et qu'il a l'occasion de se familiariser avec les méthodes mathématiques. Cette objection contient une part de vérité, mais pas plus qu'une toute petite part. Engels a appris la plupart de ce qu'il savait en mathématiques dans des livres de physique. Cela ressort clairement, par exemple, de son affirmation répétée à maintes reprises que les règles du calcul infinitésimal sont fausses du point de vue de la physique ; il n'a jamais étudié la théorie mathématique qui justifie logiquement l'apparente approximation du physicien. Mais il ne faut pas surestimer la quantité des connaissances mathématiques ainsi acquises par Engels, pas plus que leur qualité. Un petit incident nous permettra de l'évaluer.

Dans la deuxième préface de l'Anti-Dühring , écrite en septembre 1885, donc après de nombreuses années de « mue », Engels déclare :

[...] Hegel a souligné que Kepler, que l'Allemagne a laissé mourir de faim, est le véritable fondateur de la mécanique moderne des corps célestes et que la loi de la gravitation de Newton est déjà contenue dans les trois lois de Kepler, et même explicitement dans la troisième. Ce que Hegel montre avec quelques équations simples dans sa Naturphilosophie , § 270 et des ajouts (Hegel's Werke, 1842, tome VII, pages 98 et 113-115), apparaît à nouveau comme résultat de la mécanique mathématique moderne dans les Vorlesungen über mathematische Physik de Gustav Kirchhoff , 2e édition, Leipzig, 1877, page 10, et sous une forme mathématique qui est essentiellement la même que celle simple développée en premier par Hegel. [1935, pages 11-12]

Ouvrons les deux livres cités par Engels aux pages qu'il indique. Dans le livre de Kirchhoff, nous trouvons la dérivation de la loi de l'attraction de Newton à partir des trois lois de Kepler, comme on peut encore la trouver dans n'importe quel manuel élémentaire de mécanique. Il faut deux ou trois pages et fait appel au calcul intégral et aux équations différentielles élémentaires. Or, chez Hegel, nous lisons quelque chose de beaucoup plus court :

Dans la troisième loi de Kepler, A³/T² est la constante. Écrivons-la A.A²/T² et, suivant Newton, appelons A/T² la gravitation universelle ; l'expression de l'action de cette prétendue attraction est alors inversement proportionnelle au carré de la distance. [1842, pages 98–99]

Dans ces lignes puériles, Hegel ne voit pas, entre autres, que la distance variable entre la planète et le soleil n'est pas le demi-grand axe de l'orbite elliptique. A la page 115, également mentionnée par Engels, la même erreur, avec quelques autres pour faire bonne mesure, est répétée. La grandeur de Hegel repose sur d'autres acquis que ces absurdités dictées par un préjugé profond et violent contre l'Anglais Newton ainsi que par une incompréhension invétérée des méthodes mathématiques.

Un demi-siècle plus tard, après de nombreuses années de « mue » personnelle, ayant sous les yeux la dérivation correcte dans le livre de Kirchhoff, Engels ne voit pas les erreurs de Hegel. Pire encore, il affirme que les deux dérivations sont « essentiellement les mêmes ». Non, en effet, on ne peut pas dire qu'Engels ait appris beaucoup plus de mathématiques dans les livres de physique que dans les traités de mathématiques.

Que faut-il retenir de tout cela ? Engels ne montre aucune aptitude pour les mathématiques ; il ne connaît rien de leur développement au XIXe siècle ; ses jugements en matière de philosophie des mathématiques se fondent sur des conceptions qui prévalaient quatre-vingt-dix ou cent ans avant l'époque où il écrivait, alors que cet intervalle avait vu des progrès tumultueux et profonds ; même en ce qui concerne les mathématiques du XVIIIe siècle, il n'entre jamais en contact intime avec elles ; il n'en connaît les problèmes que par Hegel, assez pauvre guide en ce domaine. Néanmoins, comme nous allons le voir maintenant, Engels n'hésite pas à porter des jugements généraux sur les mathématiques et sur sa philosophie.

 

La nature des mathématiques

La conception des mathématiques d'Engels correspond bien à son épistémologie, la théorie de la copie de la vérité, et en constitue même la partie la plus grossière. Comme, en général, les idées ne sont pour lui que des « images miroir » [3] des choses matérielles, les concepts mathématiques en particulier ne sont que des « empreintes de la réalité ». (1935, page 608)

La première conséquence d'une telle théorie est de confondre ce qui est mathématique et ce qui est physique ; les mathématiques ne sont plus qu'une branche de la physique. Qu'Engels ne recule pas devant une telle implication, ses écrits le montrent sans l'ombre d'un doute.

Afin de donner des exemples de propositions incontestablement vraies, il mentionne celles qui énoncent

que 2 × 2 = 4 ou que l'attraction de la matière augmente et diminue selon le carré de la distance. [1935, page 496]

Engels n'hésite pas à mettre sur le même plan un théorème mathématique et une loi physique. L'histoire en est venue à tourner en dérision sa conception : l'expérience nous a contraints à abandonner la loi de Newton et à adopter une autre théorie, alors que nous ne voyons pas comment l'expérience pourrait nous forcer à mettre en doute un énoncé numérique. On voit bien la différence de nature entre les deux propositions évoquées.

À titre d’exemples de

vérités éternelles, vérités définitives, ultimes [1935, page 91]

Engels mentionne que deux fois deux font quatre, que les trois angles d'un triangle sont égaux à deux angles droits, que Paris est en France, qu'un homme laissé sans nourriture meurt de faim. [1935, page 91]

Ici encore, les théorèmes mathématiques se mêlent aux observations empiriques. Pour Engels, la proposition selon laquelle la somme des trois angles d’un triangle est égale à deux angles droits a le même genre de vérité que l’affirmation empirique selon laquelle Paris est en France. Il écrit cela en 1877, alors qu’il est déjà largement reconnu que la première proposition découle d’un certain ensemble d’axiomes, à savoir ceux de la géométrie euclidienne, et ne découlera peut-être pas d’un autre ensemble d’axiomes. Mais nous avons vu avec quelle obstination Engels ferme les yeux sur les géométries non euclidiennes. Elles constituent une trop grande menace pour son identification des mathématiques avec la physique.

Selon Engels, les concepts mathématiques sont

tiré de nulle part ailleurs que du monde réel. [1935, page 43]

Ils sont

exclusivement emprunté au monde extérieur, non issu de la pensée pure dans la tête. [1935, page 93]

Remarquons le mot « exclusivement ». Que l'expérience ait fait naître certaines notions mathématiques, c'est incontestable. Mais elle ne les a nullement imprimées directement dans un cerveau humain passif. En regardant un fil d'araignée ou une étendue d'eau calme, jamais un homme ne concevra la ligne droite ou le plan mathématique sans une activité intellectuelle irréductible à la simple observation, au simple « reflet ». Quant aux concepts mathématiques plus complexes, il est bientôt impossible de dire de quels objets naturels ils seraient les « images en miroir ». Oui, le mathématicien reçoit de l'expérience bien des suggestions ; mais le quid proprium des mathématiques est d'aller jusqu'au bout, de traiter des objets parfaits, des lignes sans souffle, des surfaces sans épaisseur, et de les traiter non au moyen de l'observation, mais du raisonnement logique.

Prenons par exemple le nombre p, le rapport entre la circonférence d'un cercle et son diamètre. Si pi était simplement donné par l'expérience, il faudrait construire une roue en métal et mesurer avec la plus grande précision possible sa circonférence et son diamètre. Leur rapport donnerait p, ou plutôt une approximation de p. Or, le mathématicien peut, par raisonnement pur, calculer un pi mathématique avec une précision illimitée. Il peut faire des affirmations sur ce pi mathématique – par exemple qu'il s'agit d'un nombre irrationnel, transcendant – qui n'auraient aucun sens pour le pi physique. Dans les écrits d'Engels, rien n'indique qu'il ferait une distinction entre les deux concepts ; plus exactement, pour lui, le pi mathématique disparaîtrait derrière le pi physique.

Pour Engels, la part de l'expérience dans la formation des concepts mathématiques est bien plus qu'une simple suggestion. Il écrit :

Les mathématiques pures ont pour objet les formes spatiales et les relations quantitatives du monde réel, donc une matière bien réelle. [1935, page 43]

Les mathématiques, en tant que création humaine, font évidemment partie de la « réalité ». Si Engels ne voulait rien dire de plus, ce serait une platitude. Mais ce qu'il entend par « monde réel » c'est la nature, le monde physique, matériel, et son affirmation est fausse, car il n'est nullement exact de dire que les mathématiques n'ont pour objet que les relations du monde physique. La même conception fausse est répétée à maintes reprises :

Les résultats de la géométrie ne sont rien d'autre que les propriétés naturelles des différentes lignes, surfaces et corps, ou de leurs combinaisons, qui en grande partie apparaissaient déjà dans la nature bien avant l'existence des hommes (radiolaires, insectes, cristaux, etc.). [1935, page 393]

Le fait qu'une coquille ait la forme d'une certaine courbe mathématique peut être d'un grand intérêt pour le biologiste et suggérer, par exemple, une croissance exponentielle, mais cela n'a pas de grande importance pour le mathématicien. Tout d'abord, la courbe mathématique n'est pas une « empreinte » de la coquille sur le cerveau du mathématicien ; elle est définie en termes mathématiques. Ensuite, le mathématicien ne prouvera jamais de théorèmes sur la courbe en mesurant la coquille. Ce qu'il pourrait tout au plus espérer, c'est recevoir une suggestion de l'expérience ; sa véritable tâche ne ferait alors que commencer, et il ne pourrait l'accomplir qu'en dérivant axiomatiquement de nouvelles propositions sur la courbe à partir de sa définition et de théorèmes déjà connus. Le mathématicien peut même décider de prendre comme point de départ des hypothèses qui ne sont pas des « relations du monde réel », qui ne sont pas des « propriétés naturelles » des insectes ou des cristaux, et construire des géométries qui transcendent notre expérience. Dans une étude de la philosophie d'Engels, Sidney Hook a déjà noté (1937, page 261)

la curieuse réticence des hégéliens orthodoxes et des matérialistes dialectiques à admettre que les hypothèses contraires aux faits, c'est-à-dire les jugements qui prennent la forme « si une chose ou un événement avait été différent de ce qu'il était », sont des hypothèses significatives en science ou en histoire.

Nulle part cette tendance n'est plus apparente que dans l'attitude d'Engels envers les mathématiques, et nulle part elle n'est plus dangereuse. Elle élimine l'aspect « si-alors » des mathématiques.

L'un des écrits les plus surprenants d'Engels est une note écrite en 1877 ou 1878 et intitulée Ueber die Urbilder des mathematischen 'Unendlichen' in der wirklichen Welt ( Sur les prototypes de l'infini mathématique dans le monde réel ). Il serait fastidieux et peu gratifiant de démêler l'écheveau d'exagérations, de malentendus et d'erreurs flagrantes contenues dans ces quelques pages. L'essentiel est qu'Engels entreprend de montrer que toute opération mathématique est « effectuée par la nature » ; la nature différencie, intègre, résout les équations différentielles exactement comme le mathématicien. Les deux séries d'opérations sont « littéralement » (1935, page 467) les mêmes, sauf que

l'un est réalisé consciemment par le cerveau humain, tandis que l'autre est réalisé inconsciemment par la nature. [1935, page 467]

Par exemple, la molécule est un différentiel, et

la nature opère avec ces différentiels, les molécules, exactement de la même manière et selon les mêmes lois que les mathématiques avec ses différentiels abstraits. [1935, page 466]

Ne nous attardons pas à examiner ce qu'est cette nature fonctionnant avec des lois humaines, voyons comment Engels justifie cette vision animiste. Il donne l'exemple d'un cube de soufre plongé dans une atmosphère de vapeur de soufre de telle sorte qu'une couche de soufre, de l'épaisseur d'une seule molécule (la différentielle !), se dépose sur trois faces adjacentes du cube. Mais même avec cet exemple artificiel, construit sur mesure pour prouver (!) une loi universelle, Engels s'embrouille et doit finalement constater la discordance entre le processus physique et le raisonnement mathématique. Il essaie de l'expliquer en une courte phrase, en disant que :

comme chacun sait, les lignes sans épaisseur ni souffle n'apparaissent pas d'elles-mêmes dans la nature, c'est pourquoi les abstractions mathématiques n'ont une validité illimitée qu'en mathématiques pures. [1935, page, 467]

C'est précisément là le point en jeu, qu'Engels refuse d'aborder ouvertement, mais doit concéder subrepticement. Or, où est l'identité « littérale » d'un processus physique avec un raisonnement mathématique ?

Selon Engels, les mathématiques n'utilisent que deux axiomes :

Les axiomes mathématiques sont l'expression du contenu de pensée le plus indigent, que les mathématiques sont obligées d'emprunter à la logique. Ils peuvent être réduits à deux :

1. Le tout est plus grand que la partie. Cette proposition est une pure tautologie [...]. Cette tautologie peut même se démontrer en quelque sorte en disant : un tout est ce qui est composé de plusieurs parties ; une partie est ce dont plusieurs forment un tout ; donc la partie est moindre que le tout [...].

2. Si deux grandeurs sont égales à un tiers, elles sont égales entre elles. Cette proposition, comme Hegel l'a déjà montré, est une inférence dont la justesse est garantie par la logique et qui est donc prouvée, bien qu'en dehors des mathématiques pures. Les autres axiomes sur l'égalité et l'inégalité ne sont que des extensions logiques de cette conclusion.

Ces maigres propositions ne peuvent guère faire mouche, ni en mathématiques, ni ailleurs. Pour aller plus loin, il faut introduire des relations réelles, des relations et des formes spatiales qui sont tirées de corps réels. Les notions de lignes, de surfaces, d'angles, de polygones, de cubes, de sphères, etc., sont toutes tirées de la réalité. [1935, page 44–45]

Ce passage montre que, par un axiome, Engels n'entend pas du tout la même chose que les mathématiciens. D'abord, il entreprend de « prouver » ses deux axiomes (dont l'un, soit dit en passant, est une « tautologie » !). Ensuite, ces deux propositions choisies arbitrairement ne suffisent pas comme points de départ des mathématiques. [4] Les mathématiciens ont besoin de bien d'autres hypothèses sur les ensembles, les nombres, les points, les lignes, etc. Engels ne le niera pas. Ce sont en effet ces « relations » qu'il mentionne dans le dernier paragraphe du passage cité ci-dessus. Ces propositions sont, pour lui, directement tirées de la réalité physique et sont donc « matériellement » vraies. L'idée que les mathématiciens puissent adopter successivement des séries d'axiomes contradictoires et déterminer ce qu'implique chaque série lui est tout à fait étrangère.

La conception d'Engels selon laquelle les axiomes mathématiques sont donnés immédiatement par le monde physique le conduit à rejeter la méthode déductive de preuve utilisée en mathématiques. Dans une note écrite lors de la préparation de son livre contre Dühring, nous trouvons les lignes suivantes :

Confusion comique des opérations mathématiques, susceptibles de démonstration matérielle, susceptibles d'être vérifiées, parce qu'elles reposent sur une observation matérielle immédiate, quoique abstraite, avec les opérations purement logiques, qui ne sont susceptibles que d'une démonstration déductive, donc incapables d'avoir la certitude positive qu'ont les opérations mathématiques, – et combien de celles-ci [opérations logiques] sont même fausses ! [1935, pages 394–395]

Tout cela est à l'envers. Engels établit une distinction vaguement correcte entre l'observation des faits et la déduction logique ; mais il place ensuite la preuve mathématique du côté de l'observation matérielle. Ses affirmations – celles que nous avons citées et bien d'autres du même genre – ne sont rien moins qu'une négation des mathématiques, une destruction de la structure commencée avec la géométrie grecque et portée à de tels sommets au cours des deux derniers siècles. Sans le ciment de la déduction logique, les mathématiques se réduiraient à une sorte d'arpentage, fait de recettes empiriques, d'observations hasardeuses et de coïncidences étranges. La position semble en effet intenable. Mais les mots d'Engels sont clairs et ne manquent pas d'assurance.

Dans la discussion sur la part de l'expérience physique en mathématiques, trois points sont impliqués : la nature des axiomes, la méthode déductive, l'origine des concepts fondamentaux.

La nature des axiomes mathématiques, qu'ils soient des vérités a priori ou des généralisations issues d'observations, a été un sujet de discussion animé jusqu'au milieu du XIXe siècle. Après l'apparition des géométries non euclidiennes et d'autres développements mathématiques, la question est devenue assez claire pour tous ceux qui sont suffisamment informés. Les axiomes sont des hypothèses dont la « vérité » n'a aucune importance et, en un sens, n'a aucun sens dans le domaine des mathématiques. Il appartient au physicien de décider quel ensemble d'axiomes doit être utilisé dans l'étude de la nature, mais ce choix n'est plus une question mathématique. Il y a peut-être des limites à la conception mathématique du « si-alors ». On pourrait affirmer que la séquence des nombres naturels nous est directement donnée par une intuition qui est antérieure et indépendante de la sélection de tout système d'axiomes, et, de plus, que la notion même de système d'axiomes implique déjà celle de nombre naturel. Au-delà des diverses théories des ensembles, il existe peut-être un univers « absolu » d'ensembles. Et enfin, la logique qui nous conduit du « si » au « alors » ne peut elle-même être relativisée. Sur chacun de ces points, il y a des arguments et des contre-arguments.

Nous n'avons pas l'intention d'entrer ici dans cette controverse. Notre but est simplement de délimiter le champ de discussion et de montrer que les opinions d'Engels sont bien en dehors de celles des chercheurs compétents dans ce domaine depuis le milieu du XIXe siècle. En mathématiques, il n'est tout simplement pas question de preuves basées sur des mesures physiques, de définitions directement « imprimées » par le monde physique, d'axiomes qui ne sont que des lois physiques.

La conception des mathématiques d'Engels est une forme grossière d'empirisme. Elle présente une certaine ressemblance avec les conceptions de deux de ses contemporains, Herbert Spencer et John Stuart Mill. Ces deux philosophes, cependant, sont beaucoup plus conscients des difficultés de leurs positions, s'efforcent minutieusement de répondre à toutes les objections possibles et nuancent soigneusement leurs affirmations. Engels fait des affirmations à l'emporte-pièce et raille ceux qui ne pensent pas comme lui. Sur un seul point, il essaie de renforcer ses thèses. Sa conception des notions mathématiques toutes faites, directement tirées du monde physique, est si contraire au développement réel des connaissances qu'il doit l'atténuer par une idée ouvertement empruntée à Spencer, l'acquisition des axiomes mathématiques par l'hérédité (les épigones d'Engels préfèrent ne pas mentionner cette influence) :

En reconnaissant l'hérédité des caractères acquis, elle [la science moderne] étend le sujet de l'expérience de l'individu au genre ; l'individu unique qui doit avoir fait des expériences n'est plus nécessaire, son expérience individuelle peut être remplacée dans une certaine mesure par les résultats des expériences d'une série de ses ancêtres. Si, par exemple, parmi nous, les axiomes mathématiques semblent évidents pour tout enfant de huit ans, et n'ont pas besoin d'être prouvés par l'expérience, c'est uniquement le résultat d'un « héritage accumulé ». Il serait difficile de les inculquer par la preuve à un Bushman ou à un Nègre australien. [1935, pages 464-465]

La même idée est reprise ailleurs dans des termes presque identiques :

L'évidence des axiomes mathématiques, par exemple, pour les Européens, n'est certainement pas valable pour les Bochimans et les Noirs australiens. [1935, page 385]

Nous apprenons enfin la source de l'idée :

Spencer a raison dans la mesure où ce qui nous apparaît ainsi comme l' évidence de ces axiomes est héréditaire . [1935, page 608]

Il suffit d'essayer de préciser la conception d'Engels pour voir combien elle est vide. Quelle expérience est héritée ? Est-ce notre familiarité avec les objets solides, notre « conversation avec les choses », pour reprendre l'expression de Spencer ? Sous ce rapport, cependant, les non-Blancs ne sont pas inférieurs aux Blancs, à moins que nous ne supposions qu'ils n'existent pas en tant qu'hommes depuis aussi longtemps, c'est-à-dire qu'ils sont beaucoup plus proches du singe ; mais c'est là une supposition vulgaire, dénuée de toute base scientifique. Ou bien accepterons-nous, comme autre interprétation possible, que les axiomes mathématiques soient devenus évidents pour les enfants blancs par hérédité au cours des quelques siècles où ils ont régulièrement fréquenté l'école ? Il est certain qu'aucune différence entre les enfants blancs et les enfants non blancs n'a encore été constatée dans la compréhension de l'évidence des axiomes mathématiques. Et cette différence inobservée ne peut certainement pas être invoquée pour expliquer la « preuve par l'expérience » ( Erfahrungsbeweis ) des axiomes mathématiques. N'en disons pas plus sur ce sujet. [5]
 

Logique et mathématiques

Engels divise les mathématiques en deux parties : « les mathématiques élémentaires, les mathématiques « des grandeurs constantes », et les « mathématiques supérieures », « les mathématiques des variables, dont la partie la plus importante est le calcul infinitésimal ».

Les deux domaines utilisent des méthodes de pensée différentes : « les mathématiques élémentaires [...] évoluent dans les limites de la logique formelle, du moins dans leur ensemble », tandis que les « mathématiques supérieures » ne sont « en substance rien d'autre que l'application de la dialectique aux relations mathématiques » (1935, page 138). La dichotomie des mathématiques est parallèle à la division de la pensée en « métaphysique » et « dialectique » :

Le rapport qu'entretiennent les mathématiques de grandeurs variables avec les mathématiques de grandeurs constantes est, dans l'ensemble, le rapport de la pensée dialectique à la pensée métaphysique. [1935, pages 125–126]

Les deux domaines dans lesquels les mathématiques sont divisées sont logiquement irréconciliables. Ce qui est vrai dans l'un est faux dans l'autre :

Avec l'introduction des grandeurs variables et l'extension de leur variabilité à l'infiniment petit et à l'infiniment grand, les mathématiques, d'ailleurs si austères, ont commis le péché originel ; elles ont mangé de l'arbre de la connaissance, qui leur a ouvert la carrière des réalisations les plus gigantesques, mais aussi des erreurs. [1935, pages 91–92]

Ou:

[...] les mathématiques supérieures, qui [...] souvent [...] avancent des propositions qui paraissent tout simplement absurdes aux yeux du mathématicien inférieur. [1935, page 602]

Ou:

Presque toutes les démonstrations des mathématiques supérieures, depuis les premières démonstrations du calcul différentiel, sont fausses, à proprement parler, du point de vue des mathématiques élémentaires. [1935, page 138]

Non seulement les preuves sont fausses, mais elles n’existent tout simplement pas :

La plupart des gens différencient et intègrent non pas parce qu'ils comprennent ce qu'ils font, mais par pure foi, parce que jusqu'à présent, ils ont toujours réussi. [1935, page 92]

Engels lui-même sent vaguement combien sa déclaration est téméraire et tente de l'atténuer en disant « la plupart des gens ». Mais que veut-il dire par là ? Les théorèmes du calcul infinitésimal ont-ils des preuves ou non ? Si c'est le cas, alors toute la structure d'Engels s'effondre, et il dit simplement que certaines personnes qui utilisent le calcul ne savent pas ou ne se souviennent pas de la dérivation des règles qu'elles utilisent ; une telle situation ne se limite évidemment pas au calcul ni même aux mathématiques ; que les personnes ignorant les preuves des règles soient peu nombreuses ou nombreuses, cela n'a rien à voir avec la question en jeu, tant que les preuves existent. Ou peut-être les preuves n'existent-elles pas ? Dans ce cas, Engels ne devrait pas parler de « la plupart des gens », mais de tous ceux qui utilisent le calcul sans preuves. Il était apparemment mal à l'aise à l'idée de faire une telle déclaration, et, en parlant de « la plupart des gens », il a essayé de couvrir sa sottise d'un brouillard d'ambiguïté.

L'idée qui se dégage de cette confusion est que le mathématicien ou le physicien, lorsqu'il utilise le calcul, ne suit pas les règles de la logique, de la géométrie élémentaire et de l'arithmétique. Engels a apparemment en vue le remplacement de l'accroissement d'une fonction par sa différentielle. Lorsqu'il établit une équation différentielle, le physicien raisonne souvent comme si un petit segment de la courbe était droit, c'est-à-dire comme si une fonction était linéaire dans un petit intervalle ; mais il sait que le pas est parfaitement justifié par le passage à la limite. Il pourrait obtenir le même résultat d'une manière strictement logique en utilisant la loi de la moyenne ; la procédure serait un peu plus longue ; il l'a utilisé quelques fois lorsqu'il a appris le calcul, et s'est convaincu qu'il pouvait utiliser une méthode d'approximation, qui est un moyen de gagner du temps, mais qui n'ébranle en rien les fondements logiques du calcul.

Il est vrai que lorsque le calcul infinitésimal s'est généralisé, au XVIIIe siècle, la confusion régnait sur ce point, et beaucoup de mathématiciens se préoccupaient davantage d'obtenir de nouveaux résultats que de justifier strictement leurs démonstrations. Cette situation était cependant très peu satisfaisante et de grands efforts furent bientôt déployés pour établir le calcul sur une base logiquement solide. Entre 1820 et 1830, cinquante ans avant l'époque où Engels écrivait, Cauchy donna une définition de la dérivée comme limite, et la difficulté contre laquelle butait Engels, à savoir la définition des différentielles, disparut :

Dans l'analyse mathématique du XVIIe siècle et de la majeure partie du XVIIIe siècle, l'idéal grec du raisonnement clair et rigoureux semble avoir été abandonné. L'intuition et l'instinct ont remplacé la raison dans de nombreux cas importants. Cela n'a fait qu'encourager une croyance aveugle dans le pouvoir surhumain des nouvelles méthodes. On pensait généralement qu'une présentation claire des résultats du calcul était non seulement inutile mais impossible. Si la nouvelle science n'avait pas été entre les mains d'un petit groupe d'hommes extrêmement compétents, de graves erreurs et même une débâcle auraient pu en résulter. Ces pionniers étaient guidés par un fort sentiment instinctif qui les a empêchés de s'égarer trop loin. Mais lorsque la Révolution française a ouvert la voie à une immense extension de l'enseignement supérieur, alors qu'un nombre de plus en plus grand d'hommes souhaitaient participer à l'activité scientifique, la révision critique de la nouvelle analyse ne pouvait plus être différée. Ce défi a été relevé avec succès au XIXe siècle, et aujourd'hui le calcul peut être enseigné sans la moindre trace de mystère et avec une rigueur totale. [ Courant et Robbins 1948, page 399]

Pour Engels, l'histoire des mathématiques a suivi exactement la direction opposée. À propos de la dérivée, il écrit :

Je ne mentionne qu'en passant que ce rapport [la dérivée] entre deux quantités disparues [...] est une contradiction ; mais cela ne peut pas plus nous troubler que cela n'a troublé les mathématiques en général depuis près de deux cents ans. [1935, page 141]

Les mathématiques ont été troublées par la « contradiction », elles ont fait de grands efforts pour la surmonter et, à l’époque d’Engels, elles y sont parvenues. Mais Engels brosse un tableau vraiment fantastique du développement de la science. Pour lui, le XVIIIe siècle avait connu une science « métaphysique », c’est-à-dire que les scientifiques suivaient la logique, fonctionnaient avec des « catégories fixes » et ignoraient le changement. Au XIXe siècle, la science était devenue « dialectique », c’est-à-dire qu’elle avait accepté les contradictions comme un signe de vérité. Il présente ce tableau à maintes reprises dans ses écrits, et il est intéressant de voir quel rôle les mathématiques y jouent. Selon Engels, les « mathématiques supérieures », c’est-à-dire principalement le calcul infinitésimal, sont pleines de « contradictions » ; les mathématiciens ont été contraints d’accepter ces contradictions, et leur science est une pure absurdité du point de vue de la logique. Ensuite, cette science a incité d'autres sciences à accepter également les contradictions et les a conduites de l'ère « métaphysique » du XVIIIe siècle à l'ère « dialectique » du XIXe siècle :

Jusqu'à la fin du siècle dernier, et même jusqu'en 1830, les savants se contentaient de la vieille métaphysique, car la véritable science ne dépassait pas la mécanique terrestre et cosmique. Néanmoins, la confusion était déjà introduite par les mathématiques supérieures, qui considèrent la vérité éternelle des mathématiques inférieures comme un point de vue dépassé, affirment souvent le contraire et établissent des propositions qui paraissent au mathématicien inférieur comme de pures absurdités. Les catégories fixes se dissolvaient ici, les mathématiques étaient entrées dans un domaine où même des questions aussi simples que celles de la simple quantité abstraite, du mauvais infini, prenaient une forme complètement dialectique et obligeaient les mathématiciens, contre leur gré et à leur insu, à devenir dialectiques. Rien de plus comique que les escamotages, les ruses et les expédients dont se servent les mathématiciens pour résoudre cette contradiction, pour réconcilier les mathématiques supérieures et inférieures, pour faire comprendre à leur esprit que ce qui leur apparaissait comme un résultat incontestable n'était pas une pure idiotie, et en général pour expliquer rationnellement le point de départ, la méthode et le résultat des mathématiques de l'infini. [1935, page 602]

Par « mathématiques de l'infini », Engels entend, comme nous l'avons vu, le calcul infinitésimal, et sa conception ne saurait être plus erronée. Au XVIIIe siècle, les mathématiques avaient acquis une grande richesse de résultats nouveaux, sans toujours se soucier trop de preuves rigoureuses. Au XIXe siècle, au contraire, l'accent était mis sur la rigueur et on suivait des normes logiques très strictes. De grands progrès furent réalisés dans cette direction, et parmi ce qu'Engels appelle « les esquives, les ruses et les expédients » des mathématiciens figurent quelques-unes des plus grandes réalisations de l'esprit humain. L'année 1830 même, qu'il donne comme ligne de démarcation entre la « métaphysique » et la « dialectique » dans la science, marque, avec Cauchy, l'introduction d'une nouvelle rigueur dans les mathématiques. Le tableau d'Engels est à l'opposé exact de l'évolution historique réelle.

Si Engels considère encore le calcul comme irréductible à la logique, c'est parce qu'il ne connaît pas, pourrait-on dire, les développements du XIXe siècle dans ce domaine. C'est vrai. Nous avons vu que sa source d'information sur le sujet était le traité de Bossut, qui appartient, non seulement par la date de sa publication, mais aussi par son esprit, au XVIIIe siècle. Mais le manque d'information ne peut absoudre Engels. D'abord, de toute façon, ignorantia non est argumentum et, ensuite, dans le cas présent, il faut se poser la question : pourquoi Engels n'a-t-il pas étudié ces développements du XIXe siècle ? Après tout, il a exposé sa conception erronée du calcul dans son livre contre Dühring, publié dans le dernier quart du XIXe siècle. Ne pouvait-il pas prêter attention à ce que les mathématiciens avaient fait dans les trois premiers quarts de ce siècle ?

Une réponse complète à cette question nous conduirait à examiner la manière de penser, d'écrire et de polémiquer d'Engels. Il faudrait montrer par de nombreux autres exemples comment il néglige souvent les faits lorsqu'ils ne lui conviennent pas, comment il s'empresse de mentionner et de réfuter d'éventuelles objections à ses déclarations brutales, comment il répond à un adversaire par une plaisanterie ou en l'insultant. Qu'il suffise de dire ici qu'Engels croyait avoir trouvé dans les conceptions du calcul qui prévalaient temporairement au XVIIIe siècle une confirmation des idées qui lui restaient en tête depuis qu'il avait lu Hegel, et il n'a tout simplement pas pris la peine d'approfondir ses recherches.

Même si Engels n'avait pas suivi les développements mathématiques qui se sont produits dans les trente ou cinquante années qui ont précédé l'époque où il écrivait sur les mathématiques, il aurait pu trouver un meilleur guide que Bossut ; il aurait pu utiliser, par exemple, les traités de Lacroix, le traité complet publié en 1797 ou le traité élémentaire publié en 1802 ; ces ouvrages sont de loin supérieurs à ceux de Bossut ; ils sont devenus des manuels de référence et ont connu de nombreuses éditions jusqu'à l'extrême fin du XIXe siècle. Bien que Lacroix ait écrit avant la contribution décisive de Cauchy et n'ait pas encore de définition stricte de la limite d'une fonction, son traitement est d'esprit moderne et, au tournant du siècle, il définissait déjà la différentielle comme la partie linéaire de l'accroissement de la fonction, ce qui est la définition actuelle et aurait pu dissiper bien des nuages ??noirs de confusion d'Engels. A ce propos, Engels aurait pu aussi lire l'article de d'Alembert Différentiel dans l' Encyclopédie , datant du milieu du XVIIIe siècle ; D'Alembert utilise encore la notion intuitive de limite, mais sa remarque concise, claire et sagace est une torche dont la lumière aurait pu être des plus utiles à Engels plus de cent vingt ans plus tard.

Engels, cependant, a gardé les yeux fermés sur le développement réel des mathématiques. Ses yeux sont toujours fermés lorsqu'il entreprend de montrer combien les mathématiques sont pleines de contradictions. Il n'hésite pas à écrire que

l'un des principes fondamentaux des mathématiques supérieures est la contradiction selon laquelle, dans certaines circonstances, les lignes droites et les courbes sont identiques. [1935, page 125]

Il s'agit apparemment d'une référence au calcul, et nous avons déjà vu en quoi consiste réellement cette « contradiction ». La suivante est tout simplement fantaisiste :

[Les mathématiques supérieures] établissent aussi cette autre contradiction que des lignes qui se coupent sous nos yeux, pourtant à seulement cinq ou six centimètres de leur point d'intersection, doivent être tenues pour parallèles, comme si elles ne devaient jamais se rencontrer, même si elles étaient étendues à l'infini. [1935, page 125]

Il n'est pas facile de voir ce que veut dire Engels ici. S'agit-il encore d'une question d'approximation en calcul ? Est-ce une allusion au fait que les mathématiciens peuvent utiliser une figure mal dessinée pour une démonstration correcte ? De toute façon, ces cinq ou six centimètres n'ont rien à voir avec les mathématiques, et il n'y a là non plus aucune contradiction. Engels constate que même les « mathématiques élémentaires » sont « pleines de contradictions » (1935, page 125) :

C'est par exemple une contradiction qu'une racine de A puisse être une puissance de A, et pourtant A^½ = [racine carrée de] A. [1935, page 125]

Quiconque a étudié la question des exposants fractionnaires aura du mal à trouver ici une contradiction. La démonstration donnée aux jeunes étudiants consiste précisément à montrer qu'il n'y a aucune contradiction à traiter les radicaux comme des puissances à exposants fractionnaires et qu'il est donc légitime d'étendre le concept de puissance. Cette puissance généralisée subsume la puissance au sens élémentaire du mot aussi bien que le radical. Par analogie, on pourrait reconstruire la pensée d'Engels ainsi : « Un chat est un félin ; un tigre est un félin ; donc un chat est un tigre. Voilà une contradiction ! » Vieux sophisme. Pourquoi Engels commet-il cette erreur ? Sans doute parce qu'il considère les contradictions comme le produit le plus élevé de la pensée, reflétant le « mouvement », la « vie » (voir par exemple 1935, page 124). Une pensée non contradictoire n'est guère possible pour lui. Il lui faut donc découvrir des contradictions partout. Et il le fait ! Après les racines viennent les nombres complexes :

Il est contradictoire qu'une grandeur négative soit le carré de quelque chose, car toute grandeur négative multipliée par elle-même donne un carré positif. [1935, page 125]

Si l'on relit attentivement cette phrase, il est tout simplement impossible d'y trouver la contradiction imaginée par Engels. Le carré d'un nombre négatif est un nombre positif ; donc un nombre négatif n'est pas le carré d'un nombre négatif. Mais pourquoi ne pourrait-il pas être le carré d'un autre nombre ? Où est la contradiction ?

La dialectique se manifeste en mathématiques non seulement par des contradictions, mais aussi par la loi de la négation de la négation, dont Engels entreprend de démontrer la validité en exposant des exemples. En voici le premier :

Prenons une grandeur algébrique arbitraire, à savoir a . Inversons-la, nous avons alors -a (moins a ). Inversons cette négation en multipliant -a par -a , nous avons alors +a , qui est la grandeur positive originelle, mais à un degré plus élevé, à savoir à la puissance deux. [1935, pages 388–389]

Voici maintenant un deuxième exemple :

La négation de la négation apparaît d'une manière encore plus frappante dans l'analyse supérieure, [...] dans le calcul différentiel et intégral. Comment ces opérations sont-elles effectuées ? Dans un problème donné, par exemple, j'ai les grandeurs variables x et y [ ...]. Je différencie x et y [ ...]. Qu'ai-je fait sinon nier x et y [...] ? Au lieu de x et y , j'ai donc leur négation, dx et dy , dans les formules ou équations qui sont devant moi. Je continue alors à opérer avec ces formules et, à un certain moment, je nie la négation , c'est-à-dire que j'intègre la formule différentielle [1935, pages 140-141 ; voir aussi page 392 et la note de bas de page 388].

Dans ces deux exemples, « nier » signifie quatre opérations différentes : (1) multiplier par -1, (2) élever au carré un nombre négatif, (3) différencier, (4) intégrer. Quel est le point commun de ces opérations qui permettrait à Engels de les regrouper sous le concept de négation ? Quelques pages plus loin, il nous dit que « dans le calcul infinitésimal, on le nie autrement que dans la formation de puissances positives à partir de racines négatives » (1935, page 145). Mais il ne nous donne jamais la moindre indication sur ce qui distingue les quatre opérations « négatrices » des autres opérations mathématiques. Ou bien une opération mathématique peut-elle être considérée comme une « négation » ? Alors, que signifie la « négation de la négation » ? Il est à la fois impossible et inutile de critiquer l'utilisation par Engels de cette notion informe dans le domaine des mathématiques. Quod gratis asseritur gratis negatur. Notons simplement qu’il n’existe aucune règle ni aucun principe mathématique qui puisse être, même par le plus grand effort d’imagination, identifié à la négation de la négation d’Engels.

Après avoir été témoin du mépris avec lequel Engels traite la logique, on ne s’attendrait jamais à lire dans son livre contre Dühring les lignes suivantes :

[...] la logique formelle est avant tout une méthode pour arriver à des résultats nouveaux, pour progresser du connu vers l'inconnu. [1935, page 138]

Remarquons les mots « avant tout ». La logique formelle est désormais pour Engels un ars inveniendi , une conception dont on n’avait guère rêvé à l’époque de la scolastique. En fait, la logique formelle n’est guère une méthode de découverte en mathématiques ; l’imagination et l’intuition remplissent ce rôle. Dans d’autres sciences, elle est encore, si possible, plus stérile pour la découverte. Pourquoi Engels s’est-il permis une telle gaffe ? La fin de la phrase donne la réponse :

[...] et la dialectique est la même chose, mais dans un sens beaucoup plus éminent. [1935, page 138]

Engels n'accorde une valeur aussi extraordinaire à la logique formelle (laquelle, pauvre âme, n'avait jamais rien demandé de pareil !) que pour pouvoir l'attribuer plus facilement à sa « dialectique », à un degré bien plus élevé.

Si l'on laisse de côté ce dernier tour de passe-passe, l'idée principale d'Engels est que les mathématiques se divisent en deux domaines incompatibles et que les résultats des mathématiques « supérieures », principalement le calcul infinitésimal, ne peuvent être justifiés devant les mathématiques « inférieures » et la logique formelle. Comme on apprend bientôt que les mathématiques « inférieures » elles-mêmes « fourmillent de contradictions », tout l'édifice devient tout branlant et, une fois que l'on a vu ce que sont en réalité les « contradictions » ou la « négation de la négation », il ne reste plus grand-chose.

Ces idées ont été inspirées, bien entendu, par Hegel. La deuxième partie du premier livre de sa Wissenschaft der Logik est consacrée à la Quantité et contient de longs passages sur le nombre, l'infini et le calcul infinitésimal. Les remarques de Hegel sur ce dernier sujet sont souvent intéressantes, surtout si l'on n'oublie pas qu'elles ont été écrites avant 1812, à une époque où la question n'était pas encore réglée pour les mathématiciens. Hegel, en outre, dispose d'informations actuelles ; il cite par exemple Carnot et traite abondamment de l'œuvre de Lagrange. Les remarques de Hegel témoignent aussi d'un effort de compréhension qui manque aux écrits d'Engels. Enfin, ces remarques s'inscrivent dans une conception philosophique large qui leur donne portée et profondeur. Chez Engels, tout se réduit à deux ou trois formules sèches sur la « contradiction » ou la « négation de la négation », qu'il s'efforce désespérément d'appliquer ici et là.

Il est vrai que derrière certaines contradictions d'Engels se cachent de véritables problèmes, comme l'arithmétisation du continu ou le rapport entre l'infini potentiel et l'infini actuel. Ces problèmes ont préoccupé de nombreux penseurs, des Grecs à Kant, de Kant aux mathématiciens modernes. Ils sont à la base de divergences encore non résolues dans les fondements des mathématiques. Engels s'attaque aux antinomies de Kant, et annonce bientôt que

la chose elle-même peut être résolue très simplement [1935, page 54],

et donne quelques pages d'explications. La solution d'Engels n'est pas très claire, mais, autant qu'on puisse le comprendre, coïncide avec ce que nous avons déjà vu ci-dessus sur l'existence et le rôle des contradictions en mathématiques : plus il y en a, mieux c'est. Selon Engels,

L'infini est une contradiction, et il est plein de contradictions. C'est déjà une contradiction qu'un infini soit composé de simples parties finies, et c'est pourtant le cas [...]. Toute tentative de surmonter ces contradictions conduit [...] à de nouvelles et pires contradictions. Précisément parce que l'infini est une contradiction, il est un processus infini, qui se déroule sans fin dans le temps et dans l'espace. Le dépassement de la contradiction serait la fin de l'infini. [1935, page 56]

Dans ces lignes, les mots « contradiction » et « infini » alternent sans apporter beaucoup de lumière. Entre-temps, des mathématiciens du XIXe siècle, comme Bolzano et Cantor, s'étaient attaqués au problème et faisaient de grands progrès. La seule chose que l'on puisse dire d'Engels, c'est qu'il s'occupe d'un problème important, mais rien de plus ; on ne peut pas dire qu'il apporte une contribution appréciable à sa clarification. Au contraire, exactement comme dans le cas du calcul infinitésimal, Engels cherche une solution dans une direction opposée au développement actuel de la science.
 

Conclusion

Si nous ne pouvons pas prétendre avoir traité toutes les déclarations d'Engels sur les mathématiques, un examen de celles qui ont été omises ne modifierait pas, mais confirmerait plutôt, les conclusions qui se dégagent de notre étude des écrits d'Engels. [6] Certains, cependant, pourraient contester ces conclusions au motif que certaines des citations que nous avons utilisées proviennent de manuscrits qu'Engels a laissés inédits. Il ne semble pas possible de s'incliner devant cette objection. Engels s'est longuement exprimé sur les mathématiques dans ses œuvres publiées et il n'y a pas de divergences entre ses œuvres publiées et les manuscrits inédits (plus précisément, il n'y a pas de divergences plus profondes entre les deux parties qu'à l'intérieur de la partie publiée elle-même). Nous pouvons ajouter que le gouvernement russe a publié les manuscrits d'Engels il y a longtemps et les a utilisés tout autant que les œuvres publiées de son vivant pour promouvoir son dogme officiel.

Le tableau que nous avons obtenu se compose de deux parties, assez vaguement liées. D'une part, il y a le « matérialisme » d'Engels, qui réduit les mathématiques à la physique, ou plutôt à une « observation matérielle », ignore complètement son caractère si-alors et y voit une sorte d'arpentage. D'autre part, il y a la « dialectique », qui proclame que les mathématiques enfreignent à chaque pas les règles de la logique et fourmillent de « contradictions ». Le « matérialisme » est une forme très grossière d'empirisme ; la « dialectique » est une ramification dégénérée de la philosophie de Hegel. Le seul lien, semble-t-il, qui relie ces deux parties hétérogènes est une méconnaissance commune du développement réel de la science.

Les mathématiques sont sans aucun doute le domaine dans lequel Engels est le plus faible. Ses vues sur les mathématiques sont cependant trop profondément ancrées dans ses conceptions générales pour être écartées à la légère. Elles constituent un cadre de référence qui ne peut jamais être oublié lors d'un examen général de ses idées.

Pour être complète, la présente étude nécessiterait un examen de ce que sont devenues les conceptions d'Engels une fois héritées par ses épigones et commentateurs, ainsi qu'un examen de l'attitude de Marx à l'égard des mathématiques.

La première tâche est trop ingrate pour nous tenter maintenant. Il suffit de dire que le sort des écrits d'Engels a été déterminé par des considérations sociales plutôt que par un examen rationnel de leur contenu ; seuls des événements socio-politiques, et non sa valeur intrinsèque, peuvent expliquer pourquoi un livre aussi médiocre que l' Anti-Dühring a pu devenir la Bible philosophique (si l'on peut employer ces deux mots ensemble) de tant d'hommes. Il s'agit là d'un phénomène social important (dont nous ne nous occupons pas ici), mais il n'augmente en rien la valeur intrinsèque du livre.

La seconde tâche est pleine d'intérêt et demanderait une étude spéciale ; nous nous contenterons ici de donner quelques conclusions. Marx a laissé environ 900 pages de manuscrits mathématiques. Une partie non négligeable de ces manuscrits a été publiée à Moscou en 1968. De nombreuses pages ne sont que des extraits de manuels lus par Marx. Certaines de ses notes, cependant, consistent en des commentaires et traitent de la définition de la dérivée. Marx a conçu une méthode qu'il oppose à celles de Newton, Leibniz, d'Alembert et Lagrange (il ignore Cauchy). Son but était, semble-t-il, de décider si une fonction « atteint » ou non sa limite, question longtemps débattue jusqu'au milieu du XIXe siècle. Autant qu'on puisse en juger d'après les manuscrits publiés, la méthode de Marx pour obtenir la dérivée n'implique rien de plus qu'un changement de notation, qui masque la difficulté au lieu de la résoudre. En donnant une valeur indépendante à cette procédure, Marx révèle seulement qu'il n'a pas encore pleinement saisi la notion de limite ; de plus, la méthode n'est applicable qu'aux polynômes, et non à toutes les fonctions, et son utilisation rendrait impossible une théorie générale de la dérivée.

Les efforts de Marx sont ceux d'un étudiant attentif du calcul, qui essaie de réfléchir par lui-même à un point délicat, mais qui ne peut pas encore entreprendre un travail créatif original en mathématiques parce qu'il manque de formation et d'informations. Cependant, le niveau mathématique de ces efforts est bien supérieur à celui des écrits d'Engels et, contrairement à Engels, Marx n'a rien publié sur les mathématiques.

Marx a cependant envoyé certains de ses manuscrits mathématiques sur la définition de la dérivée à Engels, qui a commenté dans une lettre datée du 18 août 1881 :

Je vous félicite pour votre travail. La question est si parfaitement claire que nous ne pouvons pas nous étonner de la façon dont les mathématiciens s'obstinent à la dénaturer. Mais cela vient de la façon de penser unilatérale de ces messieurs. [Marx et Engels 1931, page 513]

Comme ces lignes montrent bien la tournure d'esprit de leur auteur ! Engels ne savait rien du développement des mathématiques pendant les cinquante années (au moins !) qui ont précédé l'époque où il les écrivait. De toute évidence, il aurait été incapable de nommer même les mathématiciens de son temps. Pourtant, il n'hésite pas à les accuser d'incompétence. Le manuscrit de Marx devient « une nouvelle fondation du calcul différentiel » (Marx et Engels 1967, p. 46) par un « mathématicien profond » (Engels 1935, p. 10), tandis que les mathématiciens, en raison de leur ignorance de la dialectique, ne font qu'embrouiller le problème.

Voilà qui complète notre tableau. Engels apparaît désormais comme un homme plein de préjugés, incapable de participer librement à la compétition des idées. Il voudrait avoir sa propre science « dialectique » en dehors de ce qu'il appelle la science « métaphysique ordinaire », c'est-à-dire la science pure et simple.