Het meten van de beweging – arbeid

“Aan de andere kant heb ik tot nu toe altijd gevonden dat de basisbegrippen op dit gebied (d.w.z. “de fysische basisbegrippen van arbeid en hun onveranderlijkheid”) zeer moeilijk te begrijpen zijn voor personen ongeschoold in de wiskundige mechanica, ondanks alle ijver, alle intelligentie en zelfs een vrij hoge graad van wetenschappelijke kennis. Bovendien kan men niet ontkennen dat het abstracties zijn van een heel bijzondere soort. Het was niet zonder moeite dat zelfs een intellect als dat van I. Kant erin slaagde ze te begrijpen, zoals blijkt uit zijn polemiek met Leibniz over dit onderwerp.” (Helmholtz, Pop. wiss. Vortr., II, Voorwoord, p. VI/VII).

En zo wagen we ons nu in een zeer gevaarlijk gebied, temeer daar we het ons niet goed kunnen veroorloven om de lezer “door de discipline van de wiskundige mechanica” te loodsen. Maar misschien zal blijken dat, als het gaat om concepten, het dialectisch denken op zijn minst leidt tot resultaten die even vruchtbaar zijn als wiskundige berekeningen.

Aan de ene kant ontdekte Galileo de valwet, volgens welke de doorlopen ruimtes in verhouding staan tot de kwadraten van de valtijd. Aan de andere kant, zoals we zullen zien, stelde hij het principe vast, dat niet helemaal overeenkomt met deze wet, volgens welke de hoeveelheid beweging van een lichaam (zijn impeto of momento [impuls of moment]) wordt bepaald door massa en snelheid, zodat het bij een constante massa evenredig is met de snelheid. Descartes nam deze laatste stelling over en maakte het product van de massa en de snelheid van een bewegend lichaam in het algemeen tot maat van de beweging.

Huyghens ontdekte al dat bij een elastische botsing de som van de producten van de massa’s in de snelheidskwadraten van de gelijk is voor en na de botsing, en dat een analoge wet geldt voor verschillende andere gevallen van beweging van lichamen die systemisch verbonden zijn.

Leibniz was de eerste die inzag dat de cartesiaanse maat van de beweging in strijd is met de valwet. Bovendien was het onmiskenbaar dat de wet van Descartes in veel gevallen correct was. Leibniz verdeelde zo de bewegende krachten in dood en levend. De dode waren de “drukkrachten” of “trekkrachten” van lichamen in rust, waarbij ze werden gemeten als het product van massa en snelheid waarmee het lichaam zich bewoog als het van rust naar beweging ging; aan de andere kant, als een meting van de levende kracht, van de werkelijke beweging [vet van de vertaler] van een lichaam, nam hij het product van de massa en het kwadraat van de snelheid. En hij leidde deze nieuwe meting van beweging direct af uit de valwet.

Leibniz concludeerde:

“Dezelfde kracht is nodig om een lichaam van vier pond, één voet op te tillen, als om een lichaam van één pond gewicht vier voet op te tillen; maar nu zijn de afstanden evenredig met het kwadraat van de snelheid, want als een lichaam met vier voet valt, bereikt het twee keer de snelheid, alsof het met één voet valt. Als een lichaam echter valt, heeft het de kracht om tot dezelfde hoogte te stijgen van waar het gevallen is, dus de krachten zijn evenredig met het kwadraat van de snelheid.” (Suter, Gesch. der math[ematischen Wissenschaften], II, p. 367.)

Maar hij toonde verder aan dat de mate van beweging mv in strijd was met de cartesiaanse stelling van het constant zijn van de hoeveelheid beweging, in die zin dat als het werkelijk van toepassing was, de kracht (d.w.z. de hoeveelheid beweging) in de natuur voortdurend zou toenemen of afnemen. Hij schetste zelfs een ontwerp van een apparaat (Acta Eruditorum, 1690) dat, als de mv-meting nauwkeurig was, een eeuwigdurende beweging zou opleveren die voortdurend nieuwe kracht zou geven, wat absurd zou zijn. In onze tijd gebruikte Helmholtz vaak dit soort argumenten.

De cartesianen protesteerden met man en macht en er ontstond een jarenlange beroemde controverse, waaraan ook Kant deelnam met zijn allereerste werk (Gedanken von der wahren Schätzung der lebendigen Kräfte, 1746), zonder echter duidelijk in te zien wat er aan de hand was. De wiskundigen van vandaag kijken met grote minachting neer op dit “onvruchtbare” geschil, dat

“meer dan veertig jaar heeft geduurd en de Europese wiskundigen in twee vijandige kampen verdeelde, totdat d’Alembert door zijn Traité de dynamique (1743) als het ware met een machtspreuk [dooddoener – vertaler] een einde maakte aan het nutteloze verbale dispuut [cursief van Engels], want dat was het.” (Suter, ibid., p. 366.)

Het lijkt er echter op dat een controverse, door een denker als Leibniz opgeworpen tegen een denker van formaat als Descartes, en die een man als Kant zo bezighield dat hij zijn eerste werk, een nogal dik boek, aan hem opdroeg, niet uitsluitend kan berusten op een nutteloze woordenstrijd. En inderdaad, hoe kan men rijmen dat de beweging twee tegenstrijdige metingen heeft, de ene in verhouding tot de snelheid, de andere in verhouding tot het kwadraat van de snelheid? Suter maakt het zichzelf erg gemakkelijk; hij zegt dat beide partijen gelijk hadden en beide verkeerd waren;

“De uitdrukking ‘levende kracht’ is tot op heden gehandhaafd, maar wordt niet langer beschouwd als een maatstaf voor kracht [cursief van Engels], het is een eenvoudige aanduiding, eenmaal aanvaard, van het product van de massa en het halve kwadraat van de snelheid, dat zo belangrijke rol speelt in de mechanica.” [p. 368]

Op deze manier blijft mv de maat voor beweging en is levende kracht slechts een andere uitdrukking voor ^mv2/₂, een formule waarvan we weten dat die heel belangrijk is in de mechanica, maar niet meer echt weten wat het betekent.

Laten we echter de reddende Traité de dynamique nemen en de “machtspreuk” van d’Alembert nader bekijken: te vinden in het voorwoord.

In de tekst staat dat de vraag helemaal niet aan bod komt, omdat “de mechanica er niets aan heeft.” [p. XVII]

Dit is heel juist voor de puur wiskundige mechanica, waarbij, zoals in het geval van Suter hierboven, woorden die als aanduiding worden gebruikt andere uitdrukkingen zijn, of namen, voor algebraïsche formules, namen waarbij men het beste helemaal niets denkt.

Maar omdat zulke belangrijke mensen zich met de zaak hebben beziggehouden, wil hij het in het voorwoord kort onderzoeken. Helder denken vereist dat men de kracht van bewegende lichamen begrijpt uit hun eigenschap tot het overwinnen of weerstand van hindernissen. Dus zowel mv als mv2 kunnen niet worden gebruikt om de kracht te meten, maar alleen de hindernissen en hun weerstand.
Nu zijn er drie soorten hindernissen: 1. onoverkomelijke hindernissen, die de beweging volledig vernietigen, en alleen daarom al kunnen ze hier niet in aanmerking worden genomen; 2. hindernissen waarvan de weerstand net genoeg is om de beweging te stoppen, en wel onmiddellijk: de kwestie van het evenwicht; 3. hindernissen die de beweging slechts geleidelijk opheffen: de kwestie van de vertraagde beweging. [p. XVII/XVIII.] “Nu is iedereen het er waarschijnlijk over eens dat er een evenwicht is tussen twee lichamen zodra de producten van hun massa’s aan beide zijden hetzelfde zijn met hun virtuele snelheden, d.w.z. de snelheden waarmee ze proberen te bewegen. Aldus, in het geval van evenwicht, kan het product van de massa met de snelheid, of, wat hetzelfde is, de hoeveelheid beweging de kracht representeren. Iedereen is het er ook over eens dat bij een vertraagde beweging het aantal overwonnen hindernissen gelijk is aan het kwadraat van de snelheid, zodat een lichaam dat een veer heeft aangespannen, met een bepaalde snelheid, in staat zal zijn een veer aan te spannen met dubbele snelheid, hetzij gelijktijdig of achtereenvolgens, niet twee maar vier van de eerste identieke veren, met drievoudige snelheid negen, enzovoort. Hieruit concluderen de aanhangers van de levende krachten” (de leibnizianen) “dat de kracht van de bewegende lichamen over het algemeen evenredig is met het product van de massa met het kwadraat van de snelheid. Welk nadeel kan er in principe zijn als de meting van de krachten voor het evenwicht en voor de vertraagde beweging verschillend is, aangezien op basis van volstrekt duidelijke ideeën het woord kracht alleen moet worden opgevat als het effect van het overwinnen van een obstakel of van dezelfde geboden weerstand?” (Voorwoord, p. XIX/XX, van de originele uitgave.)

Maar d’Alembert is veel te veel filosoof om niet te beseffen dat hij niet zomaar om de tegenstrijdigheid van de dubbele meting van één en dezelfde kracht heen kan komen. Dus nadat hij in feite gewoon herhaalt wat Leibniz al zei – omdat zijn “équilibre” hetzelfde is als Leibniz’ “dode druk” – gaat hij plotseling over naar de kant van de cartesianen met de volgende uitweg:

het product mv kan ook worden beschouwd als een maat voor de krachten in de vertraagde beweging, “indien in het laatste geval de kracht niet wordt gemeten aan de hand van de absolute grootte van de hindernissen, maar aan de hand van de som van de weerstanden van deze hindernissen. Want er kan geen twijfel over bestaan dat deze som van de weerstanden evenredig is met de hoeveelheid beweging mv, aangezien de hoeveelheid beweging die het lichaam in elk moment verliest evenredig is met het product van de weerstand door de oneindig kleine duur van de tijd, en de som van deze producten is duidelijk de totale weerstand.” Deze laatste berekeningsmethode lijkt hem de meest natuurlijke, “want een hindernis is slechts een hindernis zolang het weerstand biedt, en de juiste uitdrukking voor het overwinnen van de hindernis is de som van de weerstanden. Overigens, als je op deze manier kracht meet, heb je het voordeel dat je een gemeenschappelijke meting hebt voor evenwicht en vertraagde beweging.” [p. XX/XXI.]

Toch, zegt hij, kan iedereen doen zoals hij wil. En nadat hij gelooft, zoals Suter zelf toegeeft, dat hij de vraag heeft opgelost, door een mathematische blunder, sluit hij af met onvriendelijke opmerkingen over de verwarring die heerste onder zijn voorgangers, en beweert hij dat er na de bovenstaande opmerkingen slechts een zeer zinloze metafysische discussie of een nog meer onverdienstelijk puur verbaal dispuut mogelijk is.

Het verzoeningsvoorstel van d’Alembert komt neer op de volgende calculatie:

Massa 1, met snelheid 1, spant 1 sluitveer in een tijdseenheid.

Massa 1, met snelheid 2, spant 4 sluitveren, maar heeft twee tijdseenheden nodig; d.w.z. slechts 2 veren per tijdseenheid.

Massa 1, met snelheid 3, spant 9 sluitveren in drie tijdseenheden, d.w.z. slechts 3 veren per tijdseenheid.

Als we het effect dus delen door de tijd ervoor nodig, gaan we van mv² terug naar mv.

Het is hetzelfde argument dat met name Catelan eerder tegen Leibniz gebruikte: een lichaam met snelheid 2 stijgt tegen de zwaartekracht in, vier keer zo hoog als een lichaam met snelheid 1, maar er is twee keer zoveel tijd voor nodig; daarom moet de hoeveelheid beweging gedeeld worden door de tijd, en =2, niet =4. Merkwaardig genoeg is dit ook de mening van Suter, die inderdaad de uitdrukking “levende kracht” alle logische betekenis ontnam en slechts een wiskundige achterliet. Dit is echter vanzelfsprekend. Voor Suter is het een kwestie van het redden van de mv-formule als enige meting voor de hoeveelheid beweging,vandaar dat mv² logischerwijs wordt opgeofferd om te herrijzen in de hemel van de wiskunde.

Maar het is correct: Catelans argumentatie geeft de mogelijkheid mv met mv² te verbinden, en is dus van belang.

De mechanisten, na d’Alembert, accepteerden zijn beslissing niet zomaar, want zijn eindoordeel was in het voordeel van mv als de maat van de beweging. Ze hielden vast aan de gegeven uitdrukking van het onderscheid dat Leibniz al had gemaakt tussen dode en levende krachten: voor evenwicht, d.w.z. voor de statica, geldt mv; mv² geldt voor de weerstandige beweging, dus voor dynamiek. Hoewel dit onderscheid in het algemeen correct is, heeft het logischerwijs niet meer betekenis dan de bekende uitspraak van de onderofficier: in dienst, altijd “voor mij”, buiten dienst, altijd “ik”. Het wordt stilzwijgend geaccepteerd, het bestaat gewoon, we kunnen er niets aan veranderen, en als er een tegenstrijdigheid in deze dubbele meting schuilt, hoe kunnen we daar dan iets aan doen?

Bv. Thomson en Tait in A Treatise on Natural Philosophy, Oxford, 1867, p. 162:

“De kwantiteit van de beweging, of de omvang van de beweging van een star lichaam dat zonder rotatie beweegt, is evenredig met de massa en tegelijkertijd met de snelheid. Een dubbele massa of dubbele snelheid zou overeenkomen met een dubbele hoeveelheid beweging.”

En direct daaronder:

“De levende kracht of kinetische energie van een bewegend lichaam is evenredig met zijn massa en ook met het kwadraat van zijn snelheid.”

In deze twee tegenstrijdige metingen van de beweging worden ze in een zeer ruwe vorm naast elkaar geplaatst, zonder ook maar de minste poging om de tegenstrijdigheid te verklaren of zelfs te maskeren. Er wordt zelfs geen enkele poging gedaan om de tegenstrijdigheid uit te leggen of zelfs maar te verdoezelen. Denken is verboden in het boek van deze twee Schotten, alleen rekenen is toegestaan. Geen wonder dat tenminste één van hen, Tait, een van de meest vrome christenen van vroom Schotland is.

In Kirchhoffs Vorlesungen über mathematische Mechanik komen de formules mv en mv² in deze vorm helemaal niet voor.

Misschien kan Helmholtz ons helpen. In Erhaltung der Kraft stelt hij voor om levende kracht uit te drukken door middel van mv²/₂, een punt waar we later op terug komen. Vervolgens somt hij, p. 20 e.v., kort de gevallen op waarin het principe van het behoud van de levende kracht (d.w.z. van mv²/₂) al is toegepast en erkend. Daar hoort onder nr. 2 bij:

“De overdracht van beweging door niet-samendrukbare vaste en vloeibare lichamen, zodra er geen wrijving of impact van inelastische materialen is. Ons algemene principe wordt meestal uitgedrukt als de regel dat een beweging die door mechanische kracht wordt voortgebracht en gewijzigd, altijd in dezelfde mate afneemt in krachtintensiteit als dat ze in snelheid toeneemt. Denken we dus aan een machine waarbij door een of ander proces een uniforme arbeidskracht wordt gegenereerd, waarbij het gewicht m wordt opgetild met de snelheid c, dan kan een ander mechanisch apparaat het gewicht nm opheffen, maar alleen met de snelheid c/n, zodat in beide gevallen de hoeveelheid spankracht die door de machine in de tijdseenheid wordt geproduceerd, wordt weergegeven door mgc, waarbij g staat voor de intensiteit van de zwaartekracht.” [p. 21]

Dus ook hier hebben we de tegenstrijdigheid dat een “krachtintensiteit”, die af- en toeneemt in een eenvoudige verhouding tot de snelheid, dat die moet dienen als bewijs voor het behoud van een krachtintensiteit die af- en toeneemt volgens het kwadraat van de snelheid.

Hier wordt echter aangetoond dat mv en mv²/₂ worden gebruikt om twee heel verschillende processen te bepalen, maar we wisten al lang dat mv2 niet = mv kan zijn, tenzij v = 1. Het gaat erom te begrijpen waarom de beweging twee soorten metingen moet hebben, wat in de wetenschap net zo onmogelijk is als in de handel. Dus laten we proberen het op een andere manier te doen.

Volgens mv wordt het volgende gemeten:

“een beweging voortgebracht en gewijzigd door mechanische krachten.”

Deze meting geldt dus voor de hefboom en alle afgeleide vormen, wielen, schroeven enz., kortom voor alle transmissiemachines. Maar een zeer eenvoudige en geenszins nieuwe redenering toont aan dat, voor zover mv geldig is, mv² dat ook is. Laten we een mechanisch apparaat nemen waarbij de hefboom in de verhouding 4 op 1 staat, dat dus een gewicht van 1 kg een van 4 kg in evenwicht houdt. Door een zeer kleine hoeveelheid kracht aan de hefboom toe te voegen, tillen we 1 kg 20 meter op; dezelfde extra kracht, op de andere arm van de hefboom, verhoogt die 4 kg met 5 m, en het grootste gewicht daalt in dezelfde tijd dat het andere gewicht stijgt. Massa en snelheid zijn omgekeerd evenredig met elkaar; mv, 1 x 20 = m’v’, 4 x 5. Als daarentegen elk van de gewichten, nadat ze zijn opgetild, vrij kan vallen tot hun oorspronkelijke niveau, dan zal één, 1 kg, na het passeren van een valruimte van 20 meter (de versnelling van de zwaartekracht is hier ongeveer 10 m in plaats van 9,81 m), een snelheid van 20 meter bereiken; het andere, 4 kg, zal een snelheid van 10 m bereiken na het passeren van een valruimte van 5 meter.

mv² = 1 x 20 x 20 = 400 = m’v’² = 4 x 10 x 10 = 400

Aan de andere kant zijn de valtijden verschillend: de 4 kg doorloopt zijn 5 meter in 1 seconde, de 1 kg 20 meter in 2 seconden. Wrijving en luchtweerstand worden hier natuurlijk verwaarloosd.

Maar nadat elk van de twee lichamen omlaag is gevallen, stopt de beweging. Daarom verschijnt mv hier als de maat van de eenvoudige overgedragen, vandaar blijvende, mechanische beweging, en mv2 als de maat van de verdwenen mechanische beweging.

Verder. Hetzelfde geldt voor de impact van volledig elastische lichamen: de som van mv, evenals de som van mv² zijn onveranderd voor en na de impact. Beide maatregelen hebben dezelfde geldigheid.

Dit is niet het geval met de impact van inelastische lichamen. Hier leren de gangbare lagere schoolboeken (de hogere mechanica houdt zich nauwelijks nog bezig met dergelijke trivialiteiten) dat de som van mv nog steeds hetzelfde is na de botsing. Aan de andere kant treedt er een verlies van levende kracht op, want als de som van mv² na de botsing wordt afgetrokken van de som van mv² voor de botsing, is er onder alle omstandigheden een positief overschot. De levende kracht zou door deze hoeveelheid (of door de helft ervan, afhankelijk van de manier waarop je het bekijkt) zijn verminderd door de wederzijdse penetratie, evenals door de wederzijdse vormverandering van de twee lichamen die met elkaar in botsing komen. – Dit laatste is duidelijk en voor de hand liggend. Maar niet de eerste bewering, dat de som van mv gelijk blijft aan die van voor de botsing. Levende kracht is beweging, ondanks Suter, en als een deel ervan verloren gaat, gaat beweging verloren. Ofwel drukt mv de hoeveelheid beweging hier verkeerd uit, ofwel is de bovenstaande uitspraak fout. In het algemeen komt de hele stelling uit een tijd dat men geen idee had van de transformatie van de beweging, waarbij het verdwijnen van de mechanische beweging alleen werd toegegeven op plaatsen waar het niet anders kon. De gelijkheid van de som van mv voor en na de impact werd hier bewezen uit het feit dat er nergens verlies of winst van deze som was. Als echter de lichamen levende kracht verliezen door interne wrijving die overeenkomt met hun inelasticiteit, verliezen ze ook snelheid, en de som van mv na de impact moet kleiner zijn dan voorheen. Want het is niet acceptabel de interne wrijving te negeren bij de berekening van mv, als die zo duidelijk zichtbaar is bij de berekening van mv².

Dit verandert echter niets. Zelfs als we deze stelling accepteren en als we de snelheid na de botsing berekenen, aangenomen dat de som van mv gelijk is gebleven, dan nog vinden we die afname in de som van mv². Dus hier komen mv en mv² in conflict over het verschil van reëel verdwenen mechanische beweging. En de berekening zelf bewijst dat de som van mv² de hoeveelheid beweging correct uitdrukt, de som van mv drukt het verkeerd uit.

Dit zijn vrijwel alle gevallen waarin mv wordt toegepast in de mechanica. Laten we nu eens kijken naar enkele gevallen waarin mv² wordt gebruikt.

Wanneer een kanonskogel wordt afgevuurd, verbruikt hij op zijn baan een hoeveelheid beweging die evenredig is met mv², ongeacht of hij een doelwit raakt of tot stilstand komt door luchtweerstand en zwaartekracht. Als een trein tegen een stilstaande trein botst, is de kracht van de botsing, en de bijbehorende vernieling, evenredig met zijn mv². Op dezelfde manier is mv² van toepassing bij de berekening van de mechanische kracht die nodig is om een weerstand te overwinnen.

Maar wat betekent deze handige formule, zo vertrouwd in de mechanica: het overwinnen van weerstand?

Wanneer we de weerstand van de zwaartekracht overwinnen door een gewicht op te tillen, verdwijnt er een hoeveelheid beweging, een hoeveelheid mechanische kracht die gelijk is aan die welke weer kan worden opgewekt door de directe of indirecte val van het opgetilde gewicht vanaf de bereikte hoogte tot aan het oorspronkelijke niveau. Het wordt gemeten met de helft van het product van zijn massa aan de hand van het kwadraat van de uiteindelijke snelheid verkregen in de val, mv²/₂. Dus wat gebeurde er tijdens het tillen? De mechanische beweging, of de kracht, is als zodanig verdwenen. Maar het is niet vernietigd; het is omgezet in mechanische spankracht, om de uitdrukking van Helmholtz te gebruiken; in potentiële energie, zoals de modernen zeggen; in ergal zoals Clausius het noemt; en dit kan op elk moment, met elk mechanisch geschikt middel, opnieuw worden omgezet in dezelfde hoeveelheid mechanische beweging als nodig was om het te produceren. De potentiële energie is slechts de negatieve uitdrukking van de levende kracht en omgekeerd.

Een kanonskogel van 24 pond raakt met een snelheid van 400 meter per seconde de één meter dikke ijzeren wand van een pantserschip en heeft onder deze omstandigheden geen zichtbaar effect op het pantser. Er is dus een mechanische beweging verdwenen, die mv²/₂, omdat 24 ponden = 12 kg, = 12 x 400 x 400 x ¹/₂ = 960.000 kilopondmeter. Wat is er van geworden? Een klein deel is besteed aan het beven en moleculaire beweging van de pantserplaat. Een tweede deel gaat in het stukspringen van de kogel in ontelbare stukken. Maar het grootste deel is omgezet in warmte met een verhoging van de temperatuur van de kogel tot gloeiende hitte. Toen de Pruisen in 1864 in de overtocht bij Alsen hun zwaar geschut in het spel brachten tegen de bepantsering van de “Rolf Krake”, zagen ze in de duisternis, na elke treffer een flits geproduceerd door het schot, en Whitworth had in eerdere experimenten al bewezen dat projectielen tegen pantserschepen geen ontsteker nodig hebben; het gloeiende metaal zelf ontsteekt de springlading. Uitgaande van het mechanische equivalent van de warmte-eenheid tot 424 kilopondmeter, komt de bovengenoemde hoeveelheid mechanische beweging overeen met een hoeveelheid warmte van 2.264 eenheden. De specifieke warmte van ijzer is 0,1140, d.w.z. dezelfde hoeveelheid warmte die 1 kg water met 1° C opwarmt (die geldt als een warmte-eenheid) is voldoende om de temperatuur van ¹/_0,1140 = 8,772 kg ijzer met 1° C te verhogen. De bovengenoemde 2.264 warmte-eenheden verhogen dus de temperatuur van 1 kg ijzer met 8,772 × 2264 = 19.860° of 19.860 kg ijzer met 1° C. Aangezien deze hoeveelheid warmte gelijkmatig verdeeld is over het pantser en het projectiel, wordt het verhit met ^19,860°/_{2 x 12} = 828º, wat neerkomt op een behoorlijke gloeihitte. Maar aangezien de voorzijde veruit het grootste deel van de verhitting opneemt, waarschijnlijk twee keer zoveel als de andere helft, zou deze verhit worden tot 1104° C, de laatste tot 552° C, wat voldoende is om het gloeiende effect te verklaren, zelfs als we een grote vermindering maken voor de werkelijk gemaakte mechanische bewegingen tijdens de inslag.

Mechanische beweging verdwijnt ook in de wrijving, om weer als warmte te verschijnen. Zoals bekend waren Joule in Manchester en Colding in Kopenhagen er voor het eerst in geslaagd om het mechanische equivalent van warmte experimenteel te bepalen door de twee corresponderende processen zo nauwkeurig mogelijk te meten.

Op dezelfde manier wordt bij het opwekken van elektrische stroom in een magneto-elektrische machine mechanische kracht uitgeoefend, bijvoorbeeld een stoommachine. De hoeveelheid zogenaamde elektromotorische kracht die in een bepaalde tijd wordt geproduceerd is evenredig en, indien uitgedrukt in dezelfde maat, gelijk aan de hoeveelheid mechanische beweging die in dezelfde tijd wordt verbruikt. We kunnen ons voorstellen dat deze worden geproduceerd, in plaats van de stoommachine, door een dalend gewicht dat de zwaartekracht gehoorzaamt. De mechanische kracht hiervan, wordt gemeten door de levende kracht die het zou verkrijgen bij een vrije val over dezelfde afstand, of door de kracht die nodig is om het weer op starthoogte te brengen; in beide gevallen mv²/₂.

Vandaar dat we vinden dat de mechanische beweging een dubbele maat heeft, maar ook dat elk van deze maten geldt voor een zeer duidelijke reeks fenomenen. Als de bestaande mechanische beweging zodanig wordt overgebracht dat deze als mechanische beweging blijft bestaan, wordt deze overgebracht volgens de verhouding van het product van de massa en de snelheid. Als het echter op zo’n manier wordt overgebracht dat het verdwijnt als mechanische beweging om herboren te worden in de vorm van potentiële energie, warmte, elektriciteit, enz., wordt het omgezet in een andere vorm van beweging, in één woord, de hoeveelheid van deze nieuwe vorm van beweging is evenredig met het product van de oorspronkelijk bewogen massa en het kwadraat van de snelheid. Kortom, mv is mechanische beweging gemeten in mechanische beweging; mv²/₂ is mechanische beweging gemeten aan de hand van het vermogen om omgezet te worden in een bepaalde hoeveelheid van een andere bewegingsvorm. En, zoals we hebben gezien, zijn deze twee metingen, omdat ze verschillend zijn, niet in tegenspraak met elkaar.

Hieruit blijkt dat de ruzie van Leibniz met de cartesianen geenszins een louter verbaal geschil was, en dat d’Alemberts machtspreuk feitelijk niets oploste. d’Alembert had zich misschien zijn tirades over de onduidelijkheid van zijn voorgangers kunnen besparen, want hij was net zo onduidelijk als zij. En inderdaad, zolang men niet wist wat er van de schijnbaar vernietigde mechanische beweging zou worden, moest men in het ongewisse blijven. En zolang wiskundige mechanisten als Suter hardnekkig opgesloten blijven binnen de vier muren van hun wetenschappelijke specialisatie, blijven ze net zo onduidelijk als d’Alembert en schepen ze ons af met lege en tegenstrijdige zinnen.

Maar hoe geeft de moderne mechanica uitdrukking aan deze transformatie van mechanische beweging in een andere vorm van beweging, die evenredig is met de hoeveelheid? – Het heeft arbeid verricht, en een bepaalde hoeveelheid arbeid.

Maar dit put het begrip arbeid in de fysieke zin van het woord niet uit. Als, zoals bij een stoom- of calorische machine, warmte wordt omgezet in mechanische beweging, d.w.z. moleculaire beweging wordt omgezet in massabeweging, als warmte een chemische verbinding afbreekt, als het in een thermozuil in elektriciteit wordt omgezet, als een elektrische stroom de elementen in water scheidt van verdund zwavelzuur, of, omgekeerd, als de beweging (alias energie) die in het chemische proces van een stroomproducerende cel wordt geproduceerd, de vorm aanneemt van elektriciteit en deze in een gesloten circuit op zijn beurt omzet in warmte – in al deze processen verricht de vorm van beweging die het proces in gang zet, en die daardoor in een andere vorm wordt omgezet, arbeid, en inderdaad een hoeveelheid arbeid die overeenkomt met de eigen hoeveelheid.

Arbeid is dus een vormverandering van beweging, kwantitatief bekeken.

Maar hoe? Als een opgetild gewicht nog in de hoogte hangt, is de potentiële energie ervan, tijdens de rust, dan ook een vorm van beweging? Zelfs Tait is tot de overtuiging gekomen dat de potentiële energie snel zal overgaan in een vorm van daadwerkelijke beweging (Nature). En Kirchhoff gaat nog veel verder als hij zegt (“Math. [Physik.] Mech.”, p. 32):

“Rust is een speciaal geval van beweging”

en daarmee bewijst dat hij niet alleen kan rekenen, maar ook dialectisch kan denken. [Rust, dat is een extreem minimum aan beweging - En Engels in de Anti-Dühring: beweging is de bestaanswijze van de materie. – vertaler]

Het begrip arbeid, dat ons zo ongrijpbaar werd beschreven zonder wiskundige mechanica, is dus heel toevallig, speels en bijna vanzelf, uit de waarneming van de twee metingen van de mechanische beweging, tot ons gekomen. In ieder geval weten we er nu meer van, dan we leren uit Helmholtz’ lezing über die Erhaltung der Kraft uit 1862, waar hij beweerde:

“de fysieke basisbegrippen van arbeid en de onveranderlijkheid ervan zo duidelijk mogelijk te maken” [Voorwoord, p. VI].

Alles wat we daar leren over arbeid is, dat het iets is dat wordt uitgedrukt in voetponden of in warmte-eenheden en dat het aantal van deze voetponden of warmte-eenheden, voor een bepaalde hoeveelheid arbeid onveranderlijk is. Verder. Dat naast mechanische krachten en warmte ook chemische en elektrische krachten arbeid kunnen leveren, maar dat al deze krachten hun arbeidsvermogen zodanig uitputten dat ze ook daadwerkelijk arbeid produceren. En dat hieruit volgt: dat de som van de effectieve hoeveelheden kracht in de hele natuur eeuwig en onveranderd hetzelfde blijft bij alle veranderingen in de natuur. Het begrip arbeid is niet ontwikkeld en zelfs niet gedefinieerd.[5] En het is juist die kwantitatieve onveranderlijkheid van de arbeidshoeveelheid die hem het inzicht ontneemt dat kwalitatieve verandering, de verandering van vorm, de basisvoorwaarde is van alle fysieke arbeid. En zo komt Helmholtz tot de conclusie dat:

“Wrijving en inelastische schokken processen zijn waarbij mechanische arbeid wordt vernietigd [cursief van Engels] en ter compensatie warmte wordt geproduceerd. (Pop. Vortr., II, p. 166.)

In tegendeel. Hier wordt geen mechanische arbeid vernietigd, hier wordt mechanische arbeid verricht. Het is de mechanische beweging die blijkbaar wordt vernietigd. Maar de mechanische beweging kan nooit een miljoenste deel van een kilopondmeter arbeid uitvoeren, zonder als zodanig vernietigd te worden, zonder in een andere vorm van beweging te worden omgezet.

Het arbeidsvermogen dat in een zekere mate van mechanische beweging zit, wordt nu, zoals we hebben gezien, de levende kracht genoemd en werd tot voor kort gemeten door mv². Maar hier ontstond een nieuwe tegenstrijdigheid. Luisteren we naar Helmholtz (Erh. d. Kraft, p. 9). Hier wordt gezegd dat de hoeveelheid arbeid kan worden uitgedrukt door een gewicht m op te tillen tot de hoogte h, waarbij dan de zwaartekracht wordt uitgedrukt in g, zodat de hoeveelheid arbeid = mgh.

Om ongehinderd verticaal te kunnen stijgen tot de hoogte h heeft het de snelheid √2gh nodig, en krijgt het dezelfde snelheid terug bij het neervallen.

Dus is mgh = mv²/₂ en Helmholtz schrijft:

“om de grootte 1/2mv² te nemen als de hoeveelheid levende kracht, waardoor deze identiek is aan de maat van de hoeveelheid arbeid. Voor het tot nu toe toepassen van het begrip levende arbeid ... is deze wijziging irrelevant, maar zal in de toekomst essentiële voordelen bieden.”

Het is nauwelijks te geloven. In 1847 was Helmholtz zo onduidelijk over de onderlinge relatie tussen levende kracht en arbeid, dat hij niet eens merkte hoe hij de vroegere evenredige maat van levende kracht veranderde in een absolute; dat hij zich totaal niet bewust is van de belangrijke ontdekking die hij met zijn gedurfde aanpak heeft gedaan en zijn mv²/₂ aanbeveelt over mv² alleen maar voor het comfort! En voor het gemak hebben de mechanisten zich gewend aan mv²/₂. Pas geleidelijk aan werd mv²/₂ wiskundig bewezen. Naumann (Allg. Chemie, p. 7) geeft een algebraïsch bewijs, Clausius (Mechan. Wärmetheorie, 2e druk, p. 18), een analytisch bewijs, dat dan in een andere vorm en een andere deductie wordt uitgelegd door Kirchhoff (ibid., p. 27)

Clerk Maxwell (ibid., p. 88) maakt een elegante algebraïsche deductie van mv²/₂ uit mv. Wat niet verhindert dat onze Schotten Thomson en Tait, schrijven (loc. cit., p. 163):

“De levende kracht of kinetische energie van een bewegend lichaam is evenredig met zijn massa en ook met het kwadraat van zijn snelheid. Als we dezelfde eenheden van massa [en snelheid] aannemen als hierboven (namelijk, eenheid van massa die met een eenheid van snelheid beweegt) is het bijzonder nuttig [cursief van Engels] de kinetische energie te definiëren als de helft van het product van de massa en het kwadraat van de snelheid.”

Hier is dus niet alleen het denken maar ook het rekenen tot stilstand gekomen, bij de eerste twee mechanisten in Schotland. De bijzondere nuttigheid, de handigheid van de formule, handelt alles mooi af.

Voor degenen onder ons die hebben gezien dat de levende kracht niets anders is dan het vermogen van een bepaalde mechanische hoeveelheid beweging om arbeid te verrichten, is het vanzelfsprekend dat de mechanische maat van dit vermogen om arbeid te verrichten en de arbeid die het werkelijk verricht, gelijk moet zijn aan elkaar; zodat wanneer mv²/₂ de arbeid meet, de levende kracht ook mv²/₂ als maatstaf moet hebben.

Maar zo is het in de wetenschap. Theoretische mechanica leidt tot het concept van levende kracht, de praktische mechanica van de ingenieurs leidt tot die van de arbeid en legt dit op aan de theoretici. En, ondergedompeld in hun berekeningen, zijn de theoretici zo onwennig geworden om te denken, dat ze al jaren het verband tussen de twee begrippen niet meer herkennen, de ene meet volgens mv², de andere volgens mv²/₂, en accepteert uiteindelijk mv²/₂ voor beide, niet omwille van inzicht, maar omwille van de eenvoud van de berekening![6]

_______________
[5] We komen niet verder als we Clerk Maxwell raadplegen. Deze laatste zegt (Theory of Heat, 4e editie, Londen, 1875, p. 87): “Work is done when resistance is overcome” en op p. 183, “The energy of a body is its capacity for doing work.” Meer komen we niet te weten.
[6] Zowel het woord arbeid als het idee komen van de Engelse ingenieurs. Maar in het Engels heet de praktische arbeid: work, en arbeid in economische zin labour. Fysische arbeid wordt daarom ook wel work genoemd, en alle verwarring met arbeid in economische zin is uitgesloten. Dit is niet het geval in het Duits, en daarom zijn in de nieuwere pseudowetenschappelijke literatuur verschillende merkwaardige toepassingen van arbeid in fysische zin op economische arbeidsverhoudingen, en vice versa, te zien. Maar we hebben ook het woord Werk dat, net als het Engelse woord Work, uitstekend geschikt is om fysische arbeid aan te duiden. Daar economie echter veel te ver staat van onze natuurwetenschappers, zullen ze nauwelijks het ingeburgerde woord arbeid gebruiken – tenzij het al te laat is. Alleen bij Clausius wordt getracht de term arbeid te behouden, althans naast de term werk.