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Primeira Edição: in Unter dem Banner des Marxismus [Sob a bandeira do Marxismo], 1931.
Fonte: Manuscritos Matemáticos de Marx, New Park Publications, 1983
Tradução: Reinaldo Pedreira Cerqueira da Silva
HTML: Fernando Araújo.
Direitos de Reprodução: licenciado sob uma Licença Creative Commons.
O enorme interesse demonstrado no estudo de Hegel pela ciência na União Soviética é melhor justificado no legado filosófico de Lênin:
“Os modernos cientistas naturais (se souberem procurar, e se aprendermos a ajudá-los) encontrarão na dialética hegeliana materialisticamente interpretada uma série de respostas aos problemas filosóficos que estão sendo levantados pela revolução nas ciências naturais e que fazem a os admiradores intelectuais da moda burguesa "tropeçam" em reação.
Se o materialismo deseja ser materialismo militante, deve estabelecer-se tal tarefa e trabalhar sistematicamente para resolvê-lo, caso contrário
"Eminentes cientistas naturais com tanta frequência quanto até agora estão desamparados em fazer suas deduções e generalizações filosóficas. Pois a ciência natural está progredindo tão rapidamente e está passando por uma sublevação revolucionária tão profunda em todas as esferas que ela não pode dispensar deduções filosóficas [ Sobre o significado do materialismo militante].
A ciência e a matemática na União Soviética estão ininterruptamente empenhadas em fortalecer e ampliar suas bases filosóficas com a ajuda do estudo da dialética de Hegel do ponto de vista materialista, a fim de continuar sua luta contra a pressão das idéias burguesas e contra a tentativa de restauração da visão burguesa do mundo com tanto sucesso e agressividade como tem sido até agora.
O que está sob consideração para os propósitos da matemática, além de várias passagens das várias obras e da Correspondência Marx-Engels , e particularmente Anti-Dühring e A Dialética da Natureza e as obras filosóficas de Lênin, são também manuscritos inéditos de Marx, dos quais O Instituto Marx-Engels, em Moscou, possui 865 folhas de quarto escritas em fotocópia. Parte deste trabalho, principalmente sobre a natureza da diferenciação e o Teorema de Taylor, já foi decifrado.
Como a dialética materialista avalia o papel da filosofia hegeliana da matemática O marxismo-leninismo procede do princípio de que:
A mistificação que a dialética sofre nas mãos de Hegel não o impede de ser o primeiro a apresentar sua forma geral de trabalhar de maneira abrangente e consciente. Com ele está em sua cabeça. É preciso virar o lado direito novamente para descobrir o núcleo racional dentro da concha mística. (Marx, posfácio para a segunda edição do capital)
Ele, portanto, naturalmente, também considerou a filosofia da matemática de Hegel do ponto de vista de uma crítica que distingue, que soube separar o núcleo positivo do material e sua tradução e transformação fiéis da casca negativa do ideal misticamente distorcido. . Assim, vemos o positivo e o negativo entrelaçados na filosofia da matemática de Hegel e nos colocamos a tarefa de libertar o núcleo materialista da casca idealista.
A atitude dos fundadores do marxismo para as concepções matemáticas de Hegel pode ser vista da seguinte citação de Engels:
'Eu não posso deixar passar um comentário sobre o velho Hegel, que eles dizem não ter uma profunda educação científica matemática. Hegel sabia muito sobre matemática que nenhum de seus alunos estava em posição de publicar os numerosos manuscritos matemáticos entre seus trabalhos. O único homem que eu saiba para entender o suficiente sobre matemática e filosofia para poder fazer isso é Marx. [Engels, Carta a A. Lange, 29 de março de 1865]
Nós, materialistas dialéticos, vemos o mérito da filosofia hegeliana no campo da matemática no fato de que Hegel:
As fraquezas, erros e erros da visão de Hegel da matemática, que seguem com necessidade de ferro de seu sistema idealista, repousam, do ponto de vista materialista dialético, sobre o fato de que:
O mérito de Hegel em reconhecer corretamente o assunto da matemática merece estar em alta em nossa estimativa, particularmente tendo em vista o fato de que mesmo hoje esta questão causa as maiores dificuldades nas mais variadas tendências filosóficas idealistas e ecléticas porque elas refletem a realidade material em uma distorção caminho.
Assim, os intuicionistas (Weyl, Brouwer), seguindo Kant, consideram que a intuição pura a priori forma o assunto da matemática, enquanto os logicistas, que desde Leibnitz levam a matemática a fazer parte da lógica, vêem nos axiomas e teoremas as leis de razão. Os formalistas , como Hilbert, negam a existência de um assunto específico de matemática, mantendo o último como uma mera coleção de regras que nos permitem formar várias combinações e transformações. Os empiristas mecanicistas que classificam a matemática como parte da física negam sua natureza específica, pensam que seu assunto é o espaço físico e o tempo físico. Outros, como Mach , buscam seu assunto em psicologia, etc.
No entanto, todas essas definições levam a dificuldades que nenhum desses sistemas filosóficos é capaz de superar. Como sabemos, os neokantianos (Bieberbach, Nelson) tiveram que enfrentar não poucas dificuldades para conciliar a contemplação pura a priori com a geometria não-euclidiana. Os logicistas (Russell, Frege) foram forçados a tomar a visão de que a matemática era gramática sem sujeito, objeto, verbo e predicado, uma gramática da cópula 'e', 'ou', 'se', etc., a fim de transformá-la assim em uma gigantesca tautologia incapaz de fornecer qualquer novo conhecimento do assunto. Os empiristas mecanicistas foram incapazes de classificar a geometria multidimensional em seu sistema e foram confrontados com a escolha de reconhecer uma geometria matematicamente possível, mas excluindo o resto da matemática. Os formalistas, que transformaram a matemática em uma espécie de jogo de xadrez com símbolos vazios, não estão em condições de explicar seu papel na tecnologia, na ciência e na estatística. Os convencionalistas (Henri Poincaré), que sustentam que os conceitos matemáticos e operações são convenções meramente convenientes, mentalmente econômicas, evitando assim a questão colocada e são incapazes de fazer qualquer afirmação sobre o desenvolvimento desses conceitos.
Assim, nenhuma dessas escolas filosóficas, que compreendem apenas um lado da realidade, está em condições de compreender a ligação entre matemática e prática e suas leis de desenvolvimento. Hegel, por si só, deu à matemática uma definição tal como apreendeu a essência do assunto, uma definição que, independentemente das opiniões de Hegel, é na verdade profundamente materialista.
De acordo com Hegel, a matemática é a ciência da quantidade, isto é, da determinação de objetos que não os descrevem como tal, no que os torna especificamente diferentes de outros objetos e de si mesmos em outro estágio de seu desenvolvimento, mas apenas do lado que é externo e indiferente à mudança.
A matemática pura lida com as formas espaciais e as relações de quantidade do mundo real - isto é, com material que é realmente muito real. O fato de esse material aparecer de uma forma extremamente abstrata só pode superficialmente esconder sua origem do mundo externo. Mas, para tornar possível investigar essas formas e relações em seu estado puro, é necessário separá-las inteiramente de seu conteúdo, para deixar o conteúdo de lado como irrelevante ”. [Engels, Anti-Dühring , 1878, pp. 51-52]
Essa conexão entre a matemática e a realidade material reproduz a interpretação materialista da definição de Hegel do assunto da matemática. As relações espaciais do nosso espaço físico correspondem às exigências dessa definição, e as formas espaciais realmente são, segundo Hegel, o assunto da matemática, mesmo que não a esgotem, já que qualquer relação que ofereça a possibilidade de várias interpretações podem se tornar o assunto da matemática. Assim, por exemplo, os vórtices tratados pela análise vetorial podem pertencer tanto a um fluido quanto à eletrodinâmica, o que não significa, no entanto, que esses vórtices matemáticos sejam um produto da idéia, mas que em si mesmos refletem relações quantitativas reais. ou seja, a realidade material.
Assim, a definição de Hegel capta a essência real da matemática, fornece a possibilidade de compreender sua ligação com a realidade material e mostra simultaneamente os limites da matemática, seu lugar e papel no sistema de ciências que, como um todo e em seu desenvolvimento, refletem objetivamente ( material) realidade. Do ponto de vista desta definição as definições citadas acima não podem ser simplesmente rejeitou uma liminar (do limite), mas realmente superar. Em cada um deles, momentos de verdade podem ser reconhecidos, "uma das características, lados, facetas do conhecimento" que, unilateralmente exagerados e distendidos, se desenvolvem "em uma natureza absoluta, divorciada da matéria, apotetizada". [Lenin, Sobre a Questão da Dialética , Volume 38, Collected Works, p.363].
Isso pode ser feito mesmo que o próprio Hegel não tenha conseguido superar completamente a unilateralidade dessas definições. Pois em Hegel devem ser ouvidos motivos que, muitas vezes bastante eclecticamente confusos, simplesmente ecoam não apenas a logística de Leibnitz, mas também a construção de Kant dos elementos da contemplação a priori , até mesmo a negação convencional e formal da correção objetiva das declarações matemáticas. Assim, ele de fato descreve corretamente a essência abstrata e formal do método matemático, segundo a qual “primeiras definições e axiomas são estabelecidos, aos quais os teoremas estão ligados, cuja prova consiste apenas em ser reduzida pelo entendimento àqueles postulados não comprovados” . [Hegel, Ciência da Lógica ]
Mas ele mesmo exagera unilateralmente o momento da tautologia na matemática, fechando os olhos para a evolução desse método que leva ao caráter arbitrário e externo dos axiomas sendo sublimados - embora até hoje a maioria dos matemáticos e filósofos da matemática não reconhecem isso - e que, no desenvolvimento da matemática, os momentos lógico-formais da compreensão são deixados de lado pelos momentos dialéticos.
É verdade que Hegel corretamente observa a existência dos momentos sensuais na matemática, mas ele confia demais em Kant reduzindo o conteúdo de matemática como ele a abstrair a intuição sensual. Pois ele concorda com Kant que a matemática "não tem a ver com conceitos, mas com determinações abstratas de intuições sensoriais", em que particularmente "geometria" tem a ver com a intuição sensual ou abstrata do espaço ", que é verdadeira na medida em que que o momento sensual é particularmente pronunciado precisamente na geometria, mas que não deve ser feito absoluto nem em relação à geometria. Além disso, o próprio Hegel prossegue admitindo que mesmo essa ciência, que lida apenas com essas percepções abstratas e sensoriais, “no entanto, colide em seu caminho, o mais notável, no final, com incomensurabilidades e irracionalidades, onde, se quiser prosseguir na determinação, é levado além do princípio da compreensão ”. (ibidFinalmente, Hegel critica, e com razão, o "prestígio e charlatanismo, até mesmo das provas newtonianas", que tentavam apresentar as leis da experiência como os resultados do cálculo. Ele está completamente correto quando afirma que de modo algum cada membro de uma fórmula matemática, tomado por si mesmo, tem que ter um significado concreto e que a correção matemática do resultado não é garantia do sentido real (isto é, a existência corresponderia) do resultado do cálculo. Mas, ao mesmo tempo, o que isso significa em Hegel é que, em proposições matemáticas em geral, ele nega a correção como tal em si mesmo, que considera a matemática, assim como os formalistas de hoje, apenas do aspecto de sua consistência lógica interna e não de sua verdade objetiva, ou seja, apenas como um cálculo,
Sendo a ciência da determinação abstrata da quantidade, a matemática só pode retratar um lado da realidade. Entre ele e a física já existe uma diferença essencial, um nó, uma transição para a nova qualidade. Para a física, as pesquisas já importam do lado essencial qualitativo. Suas moléculas, átomos e elétrons não são mais relações indiferentes nas quais coisas mutuamente diferentes podem emergir sem mudar sua qualidade, mas precisamente moléculas, átomos e elétrons na totalidade de sua particularidade, a maneira específica como elas surgem e se desenvolvem. Portanto, a física não pode ser reduzida à matemática; o papel da matemática na ciência é limitado. Esse ponto de vista é diametralmente oposto ao de Kant, segundo o qual a ciência só é digna do nome na medida em que a matemática encontra um lugar nela.
Ao se deparar com a fetichização da quantidade, que afinal é apenas um reflexo das relações abstratas de troca de dinheiro da ordem burguesa, Hegel, neste caso, desintegrou o arcabouço da filosofia burguesa. No entanto, como ele não se baseava em outra classe, mas era e permanecia um filósofo da burguesia, ele só poderia desenvolver isso, em sua essência, um ponto de vista profundamente materialista, de um modo idealista e, portanto, para a hipertrofia desenfreada. O que era materialista neste ponto de vista de Hegel é particularmente claro pelo fato de que é precisamente a notória 'matematização' da física que prestou o maior serviço ao idealismo na filosofia e na ciência. Não foi em vão que o filósofo natural Abel Rey, que desprezou o materialismo, escreveu queLa Theorie physique chez les physiciens , Paris, 1907, citado em Lênin, Volume 14, p.309), uma crise na qual "a matéria desaparece", apenas as equações permanecem (ibid).
Mesmo assim, o que aconteceu na ciência - o conjunto das duas ciências da física e da matemática - foi avaliado por Lenin como um sucesso significativo para a ciência. Isso está em completa harmonia com Hegel se o interpretamos materialisticamente. Hegel, é verdade, não reconheceu o desenvolvimento de conceitos em matemática, já que ele não contava a matemática como parte da filosofia, isto é, como uma ciência que lida com "conceitos".
“Poder-se-ia também conceber a ideia de uma matemática filosófica conhecida por Noções, o que a matemática comum deduz das hipóteses de acordo com o método do Entendimento. No entanto, como a matemática é a ciência das determinações finitas de magnitude que devem permanecer fixas e válidas em sua finitude e não ultrapassá-la, a matemática é essencialmente uma ciência do Entendimento; e, uma vez que é capaz de fazê-lo de maneira perfeita, é melhor que mantenha essa superioridade sobre outras ciências do gênero, e não se permita adulterar-se misturando-se com a noção, que é de um ponto de vista bastante diferente. natureza, ou por aplicações empíricas. ”(Hegel, Philosophy of Nature , Miller trad., p.38)
Mas isso não significa que ele ignorou completamente esse desenvolvimento. Não, ele meramente a transferiu da matemática para o seu sistema de filosofia e aqui exigiu completa unidade de desenvolvimento.
Entre a geometria e a mecânica deve haver uma unidade, tudo deve estar ligado por uma cadeia de dedução dialética, pela cadeia de desenvolvimento. Mesmo o fato de que nosso espaço tem precisamente três dimensões deve encontrar sua explicação na unidade do desenvolvimento, mas isso não pode ser alcançado apenas com os meios da matemática, mas, como disse Hegel, com os meios da filosofia, como o materialismo dialético mantém com o meios de física. Entre física e matemática há uma unidade de desenvolvimento e não de redução, uma unidade de identidade e diferença. Pois não apenas a ciência, mas a outra também representa, como afirmamos, realidade real, isto é, material em diferentes níveis de complexidade e desenvolvimento. A geometria do espaço físico e da mecânica são dois desses campos, um em pé diretamente acima do outro; entre o princípio da gravitação e a doutrina das propriedades do espaço-tempo material, deve haver um elo, mas ao mesmo tempo uma diferença também. Para descobrir esse elo devemos nos aprofundar, "fisicá-lo", se for possível usar a expressão.
Einstein não poderia ter desenvolvido sua teoria da relatividade se a geometria não tivesse progredido na direção apropriada em que se enchia de conteúdo físico. A geometria diferencial de Riemann supera — usando este termo no sentido de Hegel — a geometria euclidiana ao permitir a última validade apenas como um momento, subordinando e incorporando a geometria do espaço imutável "rígido" na curvatura constante da geometria de um "mutável". o espaço fluido, que só permanece Euclidiano em suas infinitas partes pequenas, de um espaço em que "ou a realidade na qual o espaço se baseia forma uma multiplicidade discreta ou a base da medida relações devem ser procuradas fora em forças que operam sobre elas para formar eles ”, ( ibid, p.284) onde, portanto, os corpos não são mais "indiferentes" em suas "distâncias mútuas", uma vez que a extensão do caminho percorrido depende da "história". Não é a física que é submersa e subsumida em matemática, mas a matemática que está se desenvolvendo e se aproximando da física, tomando em si mesma momentos de medida cada vez mais qualitativos. Este desenvolvimento está, portanto, procedendo completamente no sentido do método dialético materialisticamente interpretado por Hegel, mesmo que ele contradiga completamente seu sistema, que não poderia tolerar a dialética na matemática "sem conceito".
Assim, os sucessos da teoria da relatividade física não estão mais ligados ao sistema idealista de Hegel do que à filosofia relativista, eles surgiram graças à dialética espontânea do pesquisador científico, que involuntariamente reflete a verdadeira dialética da teoria da relatividade. natureza. Mas as falhas que a teoria física da relatividade de Einstein está sofrendo no momento em seus esforços para criar uma imagem do mundo que reflete adequadamente a realidade e ao mesmo tempo faz justiça às relações quânticas, são baseadas na incapacidade de compreender essa realidade como um todo. unidade de continuidade e discreta, no desejo obstinado de preservá-la como o contínuo absoluto do pensamento ideal.
Ao remover a dialética da natureza, da ciência e transferi-la para seu sistema filosófico colocado acima da natureza, Hegel age como um verdadeiro idealista. Por essa mesma razão, ele não apenas negou à matemática a capacidade de proceder de maneira conscientemente dialética, mas também, apesar de seu pronunciado objetivismo, cai em uma posição puramente subjetiva na matemática.
“Tratar uma equação dos poderes de suas variáveis como uma relação das funções desenvolvidas pela potencialização pode, em primeiro lugar, ser apenas uma questão de escolha ou possibilidade; . . . A utilidade de tal transformação deve ser indicada por alguma outra finalidade ou uso; e a única razão para a transformação foi sua utilidade ”(Hegel, Science of Logic , Miller trad., p.281).
- escreveu ele, num estilo que encontramos novamente em Mach ou Poincaré. Para o matematicamente infinito, que emerge na matemática na forma da série, a transição de limite, fluxão, quocientes diferenciais, o infinitesimal, etc., não é mais algo meramente quantitativo de seu ponto de vista, mas já contém um momento qualitativo, então que aqui a matemática não pode evitar o conceito, ao passo que se supõe que o conceito seja algo alheio à matemática, algo que supostamente contradiz todas as suas leis, e assim a matemática só pode levá-lo de um modo "arbitrariamente lemático" de um campo estranho para a matemática . Hegel afirma corretamente que a matemática elementar nunca teria dado origem à análise por si mesma, que foi levada a fazê-lo pelas exigências da "aplicação", isto é, da prática, da técnica e da ciência.
Quando Hegel escreve: "A aparência de arbitrariedade apresentada pelo cálculo diferencial em suas aplicações seria esclarecida simplesmente pela consciência da natureza das esferas nas quais sua aplicação é permissível e da necessidade peculiar e condição desta aplicação", ( ibid ., p.284) este núcleo materialista está no mesmo sentido que a afirmação de Engels sobre as analogias materiais do infinito matemático:
'No entanto, assim que os matemáticos se retiram para sua inexpugnável fortaleza de abstração, a chamada matemática pura, todas essas analogias são esquecidas, torna-se algo totalmente misterioso, e a maneira pela qual as operações são realizadas em análise aparece como algo absolutamente incompreensível, contradizendo toda a experiência e toda a razão. [Engels, Dialética da Natureza, p.271]
Mas, como resultado do piscar de olhos idealista de Hegel, ele não percebe e, em seu tempo, foi difícil perceber como, por essa influência, todas as operações e conceitos da matemática entraram em ação e todo o edifício matemático se renovou a partir do zero. Ele observa corretamente o fracasso das tentativas de assimilar os novos conceitos por meio de idéias antigas, mas como um filósofo burguês que apenas pretende explicar o mundo e não modificá-lo, ele não se apresenta como tarefa de transformar a matemática. dialeticamente.
Até o final do século passado, até 1830, os cientistas naturais conseguiam lidar muito bem com a velha metafísica, porque a ciência real não ia além da mecânica - terrestre e cósmica. No entanto, a confusão já havia sido introduzida pela matemática superior, que considera a verdade eterna da matemática inferior como um ponto de vista superado. [ibid,. p.203]
Então Engels afirma, até agora concordando com Hegel. Mas a partir daqui a diferença começa, porque Engels continua:
"Aqui as categorias fixas se dissolviam, a matemática chegara a um terreno em que até mesmo relações tão simples como a quantidade abstrata, o infinito ruim assumiam uma forma completamente dialética e forçavam a matemática, contra sua vontade e sem conhecê-la, a tornar-se dialética". ibid .]
Segundo Hegel, esses momentos dialéticos, estranhos à matemática elementar das magnitudes constantes, não podem ser adotados pela matemática. Todas as tentativas da matemática para assimilá-las são em vão, já que a matemática não é uma ciência de 'conceito', portanto naturalmente nenhum desenvolvimento dialético, nenhum movimento de seus conceitos e operações em seu próprio terreno é possível, e a única possibilidade que permanece aberto a ela é "concordar arbitrariamente com uma convenção", segundo Lagrange, para designar "derivados de determinada função primária" como os coeficientes de um membro particular do desenvolvimento da série de Taylor dessa função. Na melhor das hipóteses, o que pode ser mostrado é a conveniência e adequação de precisamente isso e nenhuma outra 'convenção'.
O grande dialético critica corretamente todas as tentativas realizadas em sua época para provar a análise, mas ao fazer isso ele não tira a conclusão esperada de que essas tentativas falharam porque não desenvolveram análises dialeticamente, mas tentaram reduzi-las à matemática elementar. Ele conclui, antes, que isso é impossível no campo da matemática, e que isso só é possível no interior da filosofia e em seu sistema de categorias que se desenvolvem uma em relação à outra. Ao conduzir dessa maneira o desenvolvimento dialético a partir da matemática e transferi-lo para seu sistema de categorias puras da lógica, ele freqüentemente o submete a mistificações bastante abstrusas, sofisticadas e fantásticas. Como exemplo disso, basta ler como a quantidade intensiva, depois de se unir com o seu oposto, quantidade extensa, passa para um processo infinito, e mais do que isso. As transições artificiais, místicas e mistificadoras de Hegel confirmam também neste campo que a dialética idealista, que visa desenvolver conceitos a partir de si, não reflete relações reais e transições, o movimento e desenvolvimento da realidade material torna-se infrutífera por seu momento idealista; que não pode haver dialética científica além da dialética materialista.
No entanto, aniquilando a dialética interna do conceito na matemática, Hegel se priva da oportunidade de revolucionar a matemática, pelo menos no interior de seu sistema filosófico, e é forçado a se transferir passivamente e "provar", em vez de trabalhar e transformar ativamente. e, no melhor dos casos, propor uma mudança de nome, como por exemplo "função de desenvolvimento" em vez de "derivada". Quando Hegel afirma que, no interior de seu sistema de categorias lógicas, ele não apenas provou a possibilidade, mas também deu a verdadeira comprovação desse mesmo infinito matemático em todas as suas variedades, nas quais todas as tentativas anteriores de fundamentar a análise haviam Na verdade, ele mesmo está trabalhando sob as mesmas imagens mentais contra as quais ele polemiza com tanta nitidez. Assim, por exemplo, ele está certo quando ele condena como não científico e antimitmático o método de negligenciar infinitesimais de uma ordem superior com base em sua insignificância quantitativa e quando ele declara que o mesmo método é permissível com base no significado qualitativo dessas magnitudes. Como o diferencial é uma relação quantitativa-qualitativa, no desenvolvimento
( x + dx ) n - x n = nx n -1 dx + n n-l / 1,2. x n-2 dx 2 +. . .
a forma de somas aparece como algo externo e não essencial, do qual, portanto, a abstração deve ser feita. "Como o que está envolvido não é uma soma, mas uma relação, o diferencial é dado completamente pelo primeiro termo", escreve ele (op. Cit , p. 265), e assim se resgata com as mesmas esquivas e buracos que ele acusa completamente os criadores do cálculo infinitesimal, que na verdade ele segue, com grande esforço para deixar entrar pela janela o que ele acabou de lançar pela porta.
Precisamente porque Hegel, partindo de seu ponto de vista idealista, não representou a tarefa e não pôde representá-la de reconstruir a matemática por meio da lógica dialética, mas apenas tentou "substanciar" a mesma no interior de seu sistema filosófico tal como está, ele nunca Realizamos até mesmo essa tarefa, apesar de todo um número dos comentários mais valiosos, e não tivemos nenhuma influência direta sobre o desenvolvimento posterior da matemática, embora esta última, como já mostramos, estivesse avançando espontaneamente ao longo de um caminho dialético.
O que é muito mais responsável pelo fato de a dialética de Hegel não ter influenciado o desenvolvimento da ciência e da matemática é a estreiteza burguesa que o tratava como "um cachorro morto". Isso levou à situação em que tudo o que permaneceu vivo nas obras de Hegel é o que Marx e Engels, como os ideólogos do proletariado, deixaram de pé de seus ensinamentos e colocaram a serviço da revolução proletária.
Superando a dialética idealista de maneira materialista, Marx, Engels e Lênin foram habilitados, em contraste com Hegel, a nos legar afirmações teóricas verdadeiramente científicas, isto é, apropriadas à realidade material, a praticar, também no campo da matemática, que nos servem como diretrizes para pesquisa, previsão científica e criação. Os pontos nodais aqui são formados pela concepção marxista-leninista das fontes e poderes do desenvolvimento da matemática, de sua essência, a interconexão e significância de suas partes, do que é dialético na própria matemática e do papel que a matemática tem que desempenhar em relação a outras ciências
“Mas não é de modo algum verdade que, em matemática pura, a mente lide apenas com suas próprias criações e imaginações. Os conceitos de número e figura não foram derivados de nenhuma outra fonte além do mundo da realidade. Os dez dedos em que os homens aprenderam a contar, isto é, a realizar a primeira operação aritmética, são tudo menos uma criação livre da mente. A contagem exige não apenas objetos que podem ser contados, mas também a capacidade de excluir quaisquer propriedades dos objetos considerados, exceto seu número - e essa capacidade é o produto de uma longa evolução histórica baseada na experiência. Como a idéia de número, a idéia de figura é emprestada exclusivamente do mundo externo e não surge na mente do pensamento puro. Deve ter havido coisas que tinham forma e cujas formas eram comparadas antes que alguém pudesse chegar à ideia de figura. . . Como todas as outras ciências, a matemática surgiu das necessidades dos homens: da medição da terra e do conteúdo dos navios, da computação do tempo e da mecânica. Mas, como em todos os departamentos de pensamento, num certo estágio de desenvolvimento as leis, abstraídas do mundo real, se divorciaram do mundo real e se contrapõem a ele como algo independente, como as leis vindas de fora, que o mundo tem que se conformar. Foi assim que as coisas aconteceram na sociedade e no estado, e desta forma, e não de outra forma, a matemática pura foi subseqüentemente aplicada ao mundo, Anti-Dühring . pp. 51-52)
E mais adiante:
'O mistério que até hoje envolve as magnitudes empregadas no cálculo infinitesimal, os diferenciais e infinitos de vários graus, é a melhor prova de que ainda se imagina que o que estamos tratando aqui são "criações livres e imaginações" puras do humano. mente, para a qual não há nada correspondente no mundo objetivo. No entanto, o contrário é o caso. A natureza oferece protótipos para todas essas magnitudes imaginárias. (Engels, Anti-Dühring , p.436)
Essa concepção, naturalmente, não tem nada em comum com a de empiristas como JS Mill, já que ao contrário deles não limita a cognição à indução, mas em contraste com os "pan-inducionistas" que Engels ri considera a lógica como a histórica trabalhada.
Assim, os conceitos matemáticos e as conformidades com o direito são considerados não como verdades absolutas, imutáveis e eternas, mas como partes da superestrutura ideológica da sociedade humana ligadas ao destino do último. Portanto, é desnecessário dizer que a principal lei do desenvolvimento social, a lei da luta de classes, não pode permanecer sem influência sobre a matemática.
Há um ditado bem conhecido de que, se os axiomas geométricos afetassem os interesses humanos, certamente seriam feitas tentativas de refutá-los. As teorias das ciências naturais que entram em conflito com os antigos preconceitos da teologia provocaram e ainda provocam a mais raivosa oposição.
Este ponto de vista, que não tem nada em comum com a alegação de Kautsky e Cunow de que a matemática e as ciências naturais devem ser contadas completamente entre as forças de produção, o que nega a luta de classes dentro delas, rejeita a divisão das ciências em Exato - matemática e as ciências naturais - e não exatas - as ciências sociais.
O ponto de vista da classe em matemática não deve, no entanto, ser interpretado de tal forma que toda a matemática anterior seja rejeitada como um todo e que, em seu lugar, uma matemática construída a partir de elementos completamente novos seja estabelecida de acordo com princípios totalmente novos. Nós assumimos a posição de que o desenvolvimento da matemática é determinado pelo desenvolvimento das forças produtivas (através do qual a própria matemática tem um efeito recíproco sobre as forças produtivas) e, consequentemente, reflete a realidade material. No entanto, as forças produtivas exercem seu efeito sobre a matemática por meio do elo de ligação das relações de produção, que na sociedade de classes são relações de classe e carimbam a classe distorcida que imprime na matemática. Assim, a matemática exibe uma natureza dupla.
“O idealismo filosófico é apenas um absurdo do ponto de vista do materialismo bruto, simples e metafísico. Do ponto de vista do materialismo dialético, por outro lado, o idealismo filosófico é um überschwengliches unilateral e exagerado.(Dietzgen) desenvolvimento (inflação, distensão) de uma das características, aspectos, facetas do conhecimento em um absoluto, divorciado da matéria, da natureza, apotheised. . . O conhecimento humano não é (ou não segue) uma linha reta, mas uma curva que se aproxima infinitamente de uma série de círculos, uma espiral. Qualquer fragmento, segmento, seção dessa curva pode ser transformado (transformado unilateralmente) em uma linha reta completa, independente, que então (se não se vê a madeira para as árvores) leva ao atoleiro, ao obscurantismo clerical ( onde está ancorado pelos interesses de classe das classes dominantes). Rectilinearidade e unilateralidade, aridez e petrificação, subjetivismo e cegueira subjetiva - voilaas raízes epistemológicas do idealismo. E o obscurantismo clerical (idealismo filosófico), naturalmente, tem raízes epistemológicas, não é infundado; é, sem dúvida, uma flor estéril, mas uma flor estéril que cresce na árvore viva do conhecimento humano absoluto, fértil, genuíno, poderoso, onipotente, objetivo e absoluto. ”[Lenine, On the Question of Dialectics , Collected Works, vol. 38, p.363]
Não obstante, a matemática burguesa pode ser simplesmente rejeitada, mas, ao contrário, deve ser submetida a uma reconstrução, pois ela representa o mundo material, ainda que unilateral e distorcido, ainda que objetivamente.
Mas se a matemática deve suas origens à prática, se ela reflete relações reais e condições derivadas da realidade material (embora de forma completamente abstrata e distorcida), deve ser dialética. Pois "a dialética, a assim chamada dialética objetiva, prevalece em toda a natureza" [Engels, Dialectics of Nature , p.211], e "a dialética em nossa cabeça é apenas um reflexo do desenvolvimento real que ocorre no reino da natureza e da sociedade humana e que segue as formas dialéticas [Carta a Konrad Schmidt, 1 de novembro de 1891]. "Este místico no próprio Hegel, porque as categorias aparecem como pré-existentes e a dialética do mundo real como sua mera reflexão" [ Dialética da Natureza, p.203]. E, na verdade, como já dissemos, Engels sustentava que a matemática superior era dialética, uma vez que a introdução de variáveis por Descartes trouxe para elas, ao mesmo tempo, o movimento e, portanto, também a dialética. Hegel observou corretamente que novos momentos qualitativos e dialeticamente internos contraditórios penetravam, assim, na matemática. Mas ele ignorou o que Engels enfatizou, isto é, que a própria matemática foi assim forçada, embora inconscientemente e contra sua vontade, a se tornar dialética e que, portanto, a dialética do desenvolvimento de seus conceitos e métodos básicos deve ser buscada na própria matemática.
No entanto, a matemática elementar, assim como a lógica formal, não é absurda, deve refletir algo na realidade e, portanto, deve conter certos elementos da dialética. Engels também pode realmente vê-lo, em contraste com Hegel.
O número é a mais pura determinação quantitativa que conhecemos. Mas está repleto de diferenças qualitativas. . . 16 não é meramente a soma de 16, é também o quadrado de quatro, o quarto poder de dois. . . Portanto, o que Hegel diz [Quantity, p.237] sobre a ausência de pensamento na aritmética é incorreto ”. [ ibid ., pp 258-259]
Mesmo na álgebra elementar e na aritmética, ele vê uma "transformação de uma forma no oposto", que é "sem futilidades ociosas", mas "uma das alavancas mais poderosas da ciência matemática, sem a qual hoje dificilmente qualquer um dos cálculos mais difíceis é realizado". [ibidem , p.258]
Marx, contudo, viu, não só em concordância com Hegel, tanto a impossibilidade de todas as tentativas de fornecer uma comprovação formal-lógica da análise, como também a infantilidade de tentar fazê-lo repousar na intuição sensual, no gráfico, etc. Lutou pela dialética da matemática, particularmente da análise, mas mais do que isso, ele empreendeu uma tentativa independente de construir uma fundação dialética baseada na unidade do histórico e do lógico. Ao fazê-lo, Marx se coloca como tarefa, como já mencionamos, de não reduzir a análise à aritmética, como os logicistas, começando com Weierstrass, mais tarde tentaram fazer, que, apesar de todas as suas realizações no aprofundamento do modo matemático. os problemas são colocados, levaram aos paradoxos bem conhecidos da teoria dos conjuntos que destruíram toda a estrutura, não apenas de matemática, mas também de lógica, que fora especialmente construída para esse fim. Marx tenta mostrar como o cálculo diferencial e integral, essencialmente novo, surge da própria matemática elementar e de sua própria base, aparecendo como "um tipo específico de cálculo que já opera independentemente em seu próprio terreno", de modo que "o método algébrico inverte-se em seu oposto exato, o método diferencial "e, desse modo, como um salto que" foge de todas as leis da álgebra ". 'Este salto de um tipo específico de cálculo que já opera independentemente em seu próprio terreno ", de modo que" o método algébrico, portanto, se inverte em seu exato oposto, o método diferencial ", e, desse modo, como um salto que" vai de encontro a todos os leis da álgebra'. 'Este salto de um tipo específico de cálculo que já opera independentemente em seu próprio terreno ", de modo que" o método algébrico, portanto, se inverte em seu exato oposto, o método diferencial ", e, desse modo, como um salto que" vai de encontro a todos os leis da álgebra '. 'Este salto dea álgebra ordinária , e além disso por meio da álgebra ordinária , na álgebra de variáveis ... está prima facie em contradição com todas as leis da álgebra convencional.
Assim como Hegel, Marx está mais próximo de Lagrange em sua prova de análise. Mas sua concepção de Lagrange é fundamentalmente diferente da concepção de Hegel. Hegel concebe Lagrange, como já vimos, de acordo com a habitual interpretação superficial, de modo que Lagrange aparece como um típico formalista e convencionalista introduzindo os conceitos fundamentais de análise em matemática de uma maneira puramente externa e arbitrária. O que Marx admira nele, pelo contrário, é exatamente o oposto; o fato de que Lagrange descobre a conexão entre análise e álgebra e que ele mostra como a análise cresce a partir da álgebra. "As conexões reais e, portanto, as mais simples entre o novo e o antigo", escreve Marx ", são sempre descobertas assim que o novo assume uma forma arredondada, e pode-se dizer que o cálculo diferencial obteve essa relação através dos teoremas de Taylor e MacLaurin. Assim, Lagrange foi o primeiro a reduzir o cálculo diferencial a uma base estritamente algébrica. Mas, ao mesmo tempo, Lagrange é criticado por Marx por negligenciar o caráter dialético desse desenvolvimento e ficar muito tempo no terreno da álgebra e menosprezar a conformidade com o direito e o método de análise em si. Por essa razão, "ele só pode ser usado como ponto de partida a esse respeito". Assim, Marx, o verdadeiro dialético, luta aqui também em duas frentes contra não só a redução puramente analítica do novo para o velho, tão característica da metodologia mecânica do século XVIII, mas também contra a introdução puramente sintética do século XVIII. novo do lado de fora, que é tão típico dos intuicionistas de hoje, que apresenta o princípio da indução matemática completa como o que é novo, vindo de fora, da intuição e, assim, oblitera a transição entre a lógica e a matemática. Aqui também Marx luta pela unidade dialética, pela unidade de análise e síntese.
A partir da concepção materialista dialética da matemática como uma representação, embora extremamente abstrata, das leis do movimento da realidade material, segue-se que o materialismo dialético tem uma estimativa muito mais elevada do papel da matemática do que Hegel. Engels enfatiza particularmente que 'um conhecimento de matemática e ciências naturais é necessário para uma concepção de natureza que é dialética e ao mesmo tempo materialista', [ Anti-Dühring ], embora ele não negligencie as dificuldades de aplicá-la aos vários ramos da ciência. conhecimento e, particularmente, enfatiza que 'o cálculo diferencial pela primeira vez torna possível para a ciência natural representar matematicamente processos e não apenas estados'. [Dialética da Natureza ]
As crescentes dificuldades oferecidas à matemática de formas complicadas de movimento, acumulando-se numa série ascendente em saltos da mecânica para a física, da física para a química, daí para a biologia e daí para as ciências sociais, não fazem, na concepção materialista dialética , bloqueiam inteiramente o seu caminho, mas permitem a perspectiva de "determinar matematicamente as principais leis da crise econômica capitalista" [Marx, Carta a Engels, 31 de maio de 1873].
O materialismo dialético considera a dialética dos conceitos apenas como o reflexo consciente do movimento dialético do mundo real, e mantém essa interconexão como válida, a determinação do ideal pelo material, da teoria pela prática como o líder na análise final. Segue-se, portanto, que o ponto de vista do materialismo dialético sobre o desenvolvimento posterior da ciência em geral e também da matemática é o oposto direto do ponto de vista de Hegel. Enquanto Hegel apenas tenta substanciar o que já existe, trata-se aqui de uma transformação, da mudança consciente, da reconstrução da ciência com base na prática. Esta atitude, que distingue nitidamente o marxismo-leninismo da filosofia de Hegel e todas as outras perspectivas de mundo idealistas e ecléticas,
A ciência atual, a ciência natural e a matemática dos países capitalistas, é, assim como todo o sistema econômico e sociopolítico capitalista, abalada por uma crise sem paralelo tanto em sua extensão quanto em sua profundidade. A crise da ciência, que por si só serve como o melhor testemunho contra a crença difundida, mas completamente infundada, de que as ciências naturais, como a filosofia, são supostamente independentes da política, abala-se sobretudo nas raízes metodológicas. O pânico e a falta de perspectiva que agarram as mentes da classe dominante no campo social refletem-se na ciência, na fuga da maioria de volta ao misticismo, enquanto “uma parte dos ideólogos burgueses que se elevaram ao nível de compreendendo teoricamente o movimento histórico como um todo. . . vai para o proletariado Manifesto Comunista ), esforça-se por compreender as suas perspectivas e metodologias mundiais, o materialismo dialéctico e impor-lhe ciência, e sente-se naturalmente atraído pela ciência da vitoriosa revolução proletária. A atual crise da ciência está, no entanto, destruindo não apenas a justificação filosófica da ciência, mas o esqueleto da própria ciência. Não apenas a priva de meios materiais e força de trabalho, mas leva sua temática ao beco sem saída da perspectiva, trazendo cada vez mais o perigo de que o aparato da própria teoria científica seja embotado e se mostre incapaz de resolver os problemas da prática. .
Assim Bertroux [P. Bertroux, L'Ideal Scientifique des Mathematiciens, 1920], por exemplo, mostra as formas em que o matemático escolhe seus temas hoje em dia, e chega à conclusão desconsolada de que a esmagadora maioria dos novos trabalhos matemáticos consiste em pequenas melhorias e ampliações e analogias de trabalhos antigos, que o método matemático pesquisas de que até mesmo Leibnitz reclamou, que levam a uma enxurrada de ensaios e a "desgosto com a ciência", ganharam e estão ganhando terreno, mas que nenhum outro caminho pode ser recomendado aos matemáticos, mas que eles deveriam continuar a confiar nos " tendências gerais da ciência de sua idade ”. A origem está na separação, em princípio, da teoria, da prática peculiar à filosofia idealista, no estigma do sem-plano suportado por todo o sistema capitalista como um todo. Somente uma filosofia que adote o objetivo de representar adequadamente o movimento da realidade material pode servir à ciência como um farol confiável para preservá-la da separação mortal da prática, da "árvore da vida perene". Somente o princípio do planejamento, cuja introdução é incompatível com o princípio da propriedade privada dos meios de produção, com a ditadura da minoria sobre a maioria, pode salvar a ciência de secar em abstrações vazias e, liberando os poderes do talento científico. adormecer nas massas populares, trazê-lo para uma flor nova e inimaginável.
A ciência na União Soviética, e a matemática como parte dela, é forte por esse mesmo motivo que possui a dialética de Hegel, materialisticamente superada e libertada de distorções idealistas, e os princípios do planejamento socialista, que por sua vez traduzem em realidade a realidade. doutrinas do materialismo dialético, como diretriz, e novos quadros de massa numericamente crescentes do corpo estudantil proletário, trazendo novos poderes científicos a partir de si mesmos, como portadores. A execução do Plano Quinquenal, a eletrificação da União Soviética, a construção de novas ferrovias, a implantação de gigantescas obras metalúrgicas, de minas de carvão, etc., a industrialização da agricultura coletiva, a construção de cidades socialistas, a politécnica das escolas e a liquidação do analfabetismo elementar e técnico,
Assim, a filosofia de Hegel é materializada em ambos os significados da palavra na União Soviética: quanto ao seu conteúdo e como um ato de confusão através da ditadura do proletariado. Como tal, no entanto, é a garantia de que o que é imortal, mesmo nos pensamentos matemáticos de Hegel, da propriedade privada de uma casta privilegiada de acadêmicos, protegida por um véu místico, se tornará propriedade comum de milhões de trabalhadores.
| Inclusão | 03/03/2019 |