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Estudos Soviéticos em Educação Matemática
Tipos de Generalização no Ensino: Problemas de Lógica e Psicologia na Estruturação dos Currículos Escolares

V. V. Davydov

4. O caráter empírico da generalização como uma das fontes de dificuldades em dominar o material de ensino

4.2 ALGUMAS DIFICULDADES EM OPERAR COM O MATERIAL MATEMÁTICO

No ensino escolar, a matemática ocupa um espaço considerável, e a psicologia educacional e a didática participam de sua concepção como disciplina. O tratamento dos resultados práticos do domínio desse assunto, do ponto de vista que nos interessa, pode ser tema de amplos estudos em vários níveis, sendo assunto para o futuro.⁽¹⁾ Acreditamos que neste trabalho é aconselhável fazer isso usando o exemplo da formação das crianças de um único conceito matemático, mas importante – o conceito de número, ao qual uma seção específica é especialmente dedicada, mais adiante. Por enquanto, entretanto, vamos apenas citar alguns fatos para descrever as características das generalizações matemáticas em estudantes.

Sabe-se que a resolução de problemas apresenta dificuldade particular para alunos de diversas séries. O ensino de técnicas de análise de textos de problemas, escolha de operações e métodos de cálculo nas séries primárias, por exemplo, ocupa quase metade do tempo reservado para a Matemática. Nos livros didáticos, há um número comparativamente pequeno de tipos de problemas, que variam amplamente de acordo com as características externas do assunto, a categoria dos números, as características particulares de conexão entre as quantidades, e assim por diante. O principal objetivo do trabalho do professor é usar a solução sistemática de grandes séries de problemas de um determinado tipo para dar às crianças a capacidade de identificar o tipo de acordo com uma série de atributos, com o objetivo de aplicar a técnica previamente dominada de encontrar um resultado. Há classificação dos tipos de condições e das técnicas de solução que lhes são aplicadas. Com base nisso, algum novo problema é identificado, e então, resolvido. Mas se a identificação não ocorre (um problema de tipo desconhecido), também não há solução – ou, mais corretamente, a série desses problemas, resolvidos com a ajuda do professor, leva à concepção de um novo tipo de problema. Pototskii (1963, p. 142) descreve essa situação escolar da seguinte maneira:

Muitas vezes ensinamos a classificação dos problemas em vez de ensinar como resolvê-los de uma vez. Quem não conhece a declaração típica de muitos alunos, feita ao se depararem com um novo problema: ‘Nós não resolvemos problemas desse tipo’, como se eles pudessem resolver apenas problemas que já foram resolvidos em algum momento!

Muitos alunos têm uma capacidade pouco desenvolvida para analisar problemas que ainda não encontraram em sua experiência educacional, mas para os quais possuem todo o conhecimento necessário.⁽²⁾ Mas essa experiência passada, as habilidades acumuladas, são aplicadas apenas em situações que são imediatamente identificadas como familiares. Uma pesquisa de Yaroshchuk (1957) envolveu um estudo especial das peculiaridades da atividade mental dos alunos na resolução de problemas aritméticos típicos. Existem dados numéricos bastante típicos nessa pesquisa. Assim, dez problemas cada um foram apresentados a 20 alunos do quarto ano – ou seja, eles deveriam dar um total de 200 soluções. Os resultados foram os seguintes: em 124 casos, os problemas foram agrupados em um tipo (ou seja, identificados como previamente resolvidos por determinada técnica) e resolvidos corretamente. Em 16 casos, eles ainda não haviam sido resolvidos quando o tipo de problema foi identificado. Em 5 casos, os problemas foram resolvidos sem identificação do seu tipo. Ainda, nos outros 55 casos, a ausência de subsunção sob um tipo foi combinada com a ausência de uma solução. Assim, uma conexão óbvia entre a solução de problemas e a identificação preliminar de seu tipo foi delineada aqui e, por outro lado, a ausência de subsunção sob um tipo em apenas 5 instâncias em 60 foi acompanhada pela solução dos problemas. Como podemos ver, a porcentagem não é grande (cerca de 8,5%).

O mesmo estudo fez uma comparação da solução de problemas de histórias e números⁽³⁾ (foram comparados problemas de um tipo que exigiam a mesma solução, como: 304 cadernos devem ser distribuídos entre duas turmas, para que uma turma receba 16 cadernos a mais que a outra, e Divida 299 em dois números de modo que o segundo seja 19 maior que o primeiro). De 100 problemas de história, 81 foram incluídos em um tipo e 73 foram resolvidos; dos 100 problemas de números – 59 e 56, respectivamente. Como todas as disciplinas resolveram problemas de ambos os tipos, alguns alunos (22 deles) incluíram os problemas da história em um tipo com mais facilidade, enquanto 17 que resolveram o problema da história não conseguiram resolver o problema de número análogo.⁽⁴⁾ Há materiais na obra para indicar que o menor número de instâncias de resolução de problemas de números está relacionado a maiores dificuldades em subsumi-los em um tipo do que para problemas de histórias. Yaroshchuk (1957) também cita dados para mostrar que, em um problema de história, as crianças conceituam os objetos específicos ali discutidos de uma forma ou de outra – e isso torna mais fácil para elas realizar as operações de subsunção sob um tipo. Alguns sujeitos foram capazes de fazer isso assim que concretizaram os números abstratos, de forma independente ou com a ajuda do investigador, conectando-os com determinados objetos.

Os indicadores quantitativos citados nesse trabalho certamente estão relacionados às condições específicas de ensino, que afetam a preparação dos alunos. Aparentemente, esses números mudarão para outros grupos de alunos em outras séries. No entanto, em nossa opinião, uma tendência definida, direta ou indiretamente confirmada por outros estudos e observações, é expressa aqui, mesmo assim. Então, Skripchenko (1957, p. 85), que estudou a eficácia de ensinar alunos do ensino fundamental em resolver problemas, observa que

se um problema não se encaixa em um dos tipos de problemas que são conhecidos pelos alunos, eles se mostram incapazes de resolvê-lo. Consequentemente, a lembrança e a reprodução de um método de solução são centrais aqui, em vez de encontrar de forma independente uma maneira de resolver um novo problema.

Khingan (1963) cita algumas opiniões interessantes de professores em um de seus artigos no final dos anos 1930. Ele escreveu:

Certa vez, tive que descobrir com vários bons professores de quinta série aproximadamente qual porcentagem de alunos realmente aprende a resolver problemas aritméticos que não são exemplos de computação simples – ou seja, aqueles em que o método de solução, não importa quão simples é, deve ser encontrado pelo próprio aluno... Chegar ao ponto em que um aluno encontre a solução para um problema de um tipo novo, mesmo que seja um tipo muito simples, por conta própria – isso, na unanimidade opinião dos professores, é uma questão que só tem sucesso em casos muito excepcionais (KHINGAN, 1963, p. 161-162).

Assim, os alunos, principalmente os mais jovens, são basicamente bem-sucedidos em resolver apenas problemas de um tipo que lhes é conhecido, cuja identificação preliminar é a principal condição para reproduzir um método específico de solução previamente dominado. Apesar de toda a complexidade dessa atividade em si, ela não se estende além dos limites do pensamento classificacional e empírico.

O sucesso nas soluções depende também do grau de concretização das condições de um problema, do potencial de sua expressão visual e concepção. Assim, Menchinskaya (1955) aponta que a habilidade em conceituar visualmente o conteúdo de um problema desempenha um papel decisivo no estabelecimento das correlações necessárias. “Todo professor sabe que, quando um aluno não consegue resolver um problema, basta mudar de tema, tornando-o mais próximo da experiência da criança, que o sucesso na solução é garantido” (MENCHINSKAYA, 1955, p. 358).

De acordo com esse tipo de experiência natural por parte dos professores e de acordo com o princípio visual tradicional, muitos manuais de métodos recomendam a ilustração de textos de problemas com imagens representando certos objetos discutidos em problemas (ver, por exemplo, as imagens recomendadas no livro de Topor [1955]).

As crianças certamente precisam de imagens, mas a questão é o que retratar e como, o que destacar e enfatizar nelas e como. Uma vez que as conexões ou relações entre quantidades emergem como objeto das operações das crianças na resolução de problemas, são essas relações que claramente devem ser destacadas em primeiro lugar e representadas de forma simbólica (graficamente, com símbolos de letras, etc.). Menchinskaya (1955) observa que, juntamente com a técnica de concretização, a técnica de abstração também deve ser aplicada na escola, onde os aspectos da história de um problema são deixados de lado e as relações matemáticas são reveladas.

O mesmo autor escreveu: “Até agora, muito pouca atenção foi dada nos manuais de métodos a esse aspecto da reinterpretação de um problema” (MENCHINSKAYA, 1955, p. 359).

Certamente isso não é um acidente. Seguindo estritamente o princípio de confiar em concepções, os metodólogos aplicam basicamente a técnica da concretização, concentrando a atenção das crianças em características específicas das condições de um problema. Como Botsmanova (1961) mostrou, ao fazer uma análise especial de todos os tipos de visualidade que são aplicados na resolução de problemas aritméticos, a maior parte da visualidade é meramente ilustrativa e externa, refinando as concepções das crianças sobre os objetos tratados no texto. É perfeitamente natural que, quando há uso sistemático dessa visualidade ao longo de muitos anos, as crianças que se deparam com um problema difícil realmente exijam que seu assunto e objetos se aproximem de sua própria experiência pessoal – isso os ajuda a conceber o conteúdo do problema.

A transição oportuna e adequada das crianças de confiar na visualidade natural para a habilidade de se orientar nas relações entre as próprias quantidades e números (para relações abstratas) é uma condição importante para ingressar na matemática. Porém, na prática, as crianças são mantidas por muito tempo no nível das concepções dos objetos reais ao seu redor e dos agregados deles, o que inibe a formação de conceitos especificamente matemáticos. Essa característica da instrução comum, bem como uma opinião sobre seus objetivos genuínos, é distintamente expressa nas seguintes opiniões de Dieudonne:

Em nossos tempos, estamos inclinados, particularmente entre os professores [...] a tentar disfarçar ou diminuir o caráter abstrato da matemática tanto quanto possível. Isso, na minha opinião, é um grande erro. Claro, não se trata de confrontar as crianças com conceitos muito abstratos desde o início, mas de seu domínio desses conceitos na proporção de seu desenvolvimento mental e de a matemática ser apresentada em sua forma verdadeira (ENSINANDO MATEMÁTICA, 1960, p. 41).⁽⁵⁾

Dieudonne acredita que as crianças devem ver abertamente a essência abstrata da matemática, e que devem cultivar uma capacidade de abstração – para usar seu poder teórico.

No trabalho prático, no entanto, há uma confiança muito mais frequente em princípios estabelecidos em psicologia educacional, segundo os quais pode haver uso extensivo da técnica da concretização e desconhecimento da técnica da abstração (se esses termos forem usados).⁽⁶⁾ Isso é, em última análise, uma consequência da interpretação tradicional das condições de generalização.

Aqui, precisamos considerar uma questão muito interessante que surgiu recentemente na psicologia com base em um estudo sistemático das características da atividade mental para alunos que têm habilidades diferentes no domínio da matemática. Baseando-se em dados experimentais, Krutetskii (1976, p. 161-262, grifos do autor) destacou duas maneiras fundamentalmente diferentes de generalizar o material matemático que são observadas nos alunos:

Junto com o método de generalização gradual do material matemático, com base nas variações em uma diversidade de casos particulares (o método para a maioria dos alunos), há outro caminho pelo qual alunos capazes, sem comparar o “semelhante”, sem exercícios especiais ou sugestões do professor, de generalizar independentemente objetos matemáticos, relações e operações “no local”, com base na análise de apenas um fenômeno em uma série de fenômenos semelhantes.

Krutetskii (1976, p. 261) liga o isolamento e a descrição da primeira forma de generalizar com os trabalhos de muitos psicólogos:

Na psicologia soviética, assumiu-se a posição de que qualquer generalização, inclusive matemática, baseia-se na comparação de casos particulares e no isolamento gradual do geral, com uma ampla variação de características irrelevantes sendo assegurada, enquanto as características relevantes permanecem constantes.

Aqui há uma citação totalmente correta das teses básicas sobre as condições para esse tipo de generalização, que foram formuladas de maneira mais distinta nos trabalhos de um grupo de nossos psicólogos (Menchinskaya, Bogoyavlenskii, Kabanova-Meller, Kalmykova, Zykova, além de outros).⁽⁷⁾

Na verdade, esse tipo de caracterização das condições necessárias para qualquer generalização é amplamente representado na psicologia educacional (apresentamos esse fato em detalhes no Capítulo 1). Certamente, tanto o esquema para esse tipo de generalização quanto sua absolutização, a transferência para todas as instâncias da formação da generalização, têm suas fontes mais próximas na psicologia associacionista empírica, que se baseou na lógica formal tradicional e na teoria empírica sensacionalista da generalização (são circunstâncias que tratamos nos capítulos 2 e 3). Na exposição anterior do problema, também estabelecemos que esse esquema explica a formação de generalizações e conceitos empíricos sozinho, mas não pode ser tornado absoluto – não pode ser atribuído a nenhuma generalização, particularmente a teórica.⁽⁸⁾

Atualmente, existem dados experimentais para descrever os diferentes métodos de generalização.⁽⁹⁾ Krutetskii (1976, p. 261) correlacionou seus próprios materiais com as teses conhecidas sobre generalização, e escreveu:

Todas essas posições estão completamente corretas. Elas foram confirmadas em nosso trabalho com alunos médios e incapazes, mas aparentemente não podem ser atribuídas a todos os alunos ou consideradas condição necessária para a generalização matemática.⁽¹⁰⁾

Ainda: “O método de generalização gradual não é o único caminho para o domínio de conhecimentos gerais sobre matemática [...]” (KRUTETSKII, 1976, p. 261).

Assim, a forma empírica de generalizar é típica da atividade mental de crianças de habilidades medianas e relativamente incapazes em matemática, que constituem a maioria dos alunos. As características específicas do pensamento desses alunos, que são detectadas durante a generalização do material matemático, foram descritas em detalhes no livro de Krutetskii (1976, veja páginas 237 a 263). Vamos delinear apenas alguns delas.

Façamos uma breve descrição da metodologia do estudo de Krutetskii (1976). Testes especiais (observações durante as aulas, avaliação dos resultados de testes escritos especiais, avaliação do progresso na escola etc.) foram usados para delinear grupos de alunos no 6º e 7º anos que tinham habilidades diferentes para aprender matemática escolar. Os testes, que foram orientados a revelar as peculiaridades da generalização, envolveram a participação de 96 indivíduos (para as séries⁽¹¹⁾ V, VI, VII e IX). Quatro deles eram muito capazes (MC), 33 eram capazes (C), 37 eram medianos (M) e 22 eram relativamente incapazes (I). Cada disciplina resolvia um sistema de atribuições que se decompunha em séries definidas, de forma individual (além de estudar a capacidade de generalização, havia outras séries para estudar a capacidade de cerceamento do raciocínio, flexibilidade de pensamento etc.).

Assim, a Série V destinava-se a alunos que ainda não estavam familiarizados com as fórmulas de multiplicação curta. No início, eles foram ajudados pelo investigador a se familiarizar com uma dessas fórmulas e usaram exemplos elementares para aprender seu significado matemático. Em seguida, eles foram apresentados a uma fórmula extremamente distante da original (veja abaixo - Tarefa nº 8). Foi determinado se o sujeito reconhecia o quadrado de uma soma na expressão. Caso o reconhecimento não ocorresse, as tarefas 1, 2, 3, etc., foram introduzidas sequencialmente, com a Tarefa 8 sendo apresentada novamente após cada uma delas.⁽¹²⁾ Pode-se, portanto, descobrir quando – após qual tarefa da série – a tarefa mais difícil foi resolvida. Todas as tarefas foram as seguintes, em ordem crescente de complexidade:

1. (a + b)2=

2. (1 + a3b2)2 =

3. (-5x + 0.6xy2)2 =

4. (3x – 6 y)2 =

5. (m + x + b)2 =

6. (4x + y3 – a)2 =

7. 512 =

8. (C + D + E)(E + C + D) =

Esta série destinava-se ao estudo da forma como as entidades são subsumidas a um conceito que acaba de se formar na base, a transferência de um método desenvolvido para condições semelhantes. A extensão do desenvolvimento da capacidade de generalizar pode ser julgada pelo quanto o aluno vê em comum em diferentes problemas, e até que ponto ele pode passar de tarefas simples para tarefas complexas.

Os testes da Série VI (6 problemas aritméticos e 1 texto geométrico) exigiam que os sujeitos tivessem habilidade em reunir problemas externamente diferentes (mas que eram essencialmente de um único tipo) e em diferenciar problemas semelhantes (mas de tipo diferente) a eles. Aqui eles tiveram que fazer uma generalização independente de vários fenômenos para desenvolver um conceito de tipo de problema (não citaremos os textos dos problemas – ver Krutetskii [1976]).

Os testes da Série VII incluíram a solução de problemas com uma transformação gradual dos dados – de dados concretos (numéricos) para abstratos (letras). Inicialmente, os sujeitos foram solicitados a resolver um problema apenas com dados de letras. Caso o sujeito não conseguisse, era colocado um problema em que alguns dados eram concretamente numéricos, e assim por diante (ver KRUTETSKII, 1976, p. 123-125). Aqui foi verificado se um aluno resolveu um problema em um nível abstrato imediatamente ou se uma transição gradual foi necessária.

A Série IX exigia um sistema de provas de um único tipo, mas de complexidade crescente a ser realizada (duas provas algébricas, uma geométrica e uma lógica). Nesses casos, revelou-se a capacidade de generalizar o método de raciocínio, de transferir um princípio aprendido para a solução de problemas semelhantes, mas cada vez mais complexos (ver KRUTETSKII, 1976, p. 127-130).

Todos esses testes revelaram certos traços característicos da atividade mental dos sujeitos nos diferentes grupos. Assim, os alunos incapazes generalizaram o material com esforço considerável. As transições de um nível para outro exigiam ajuda do investigador. O reforço em cada um dos níveis ocorreu após um número considerável de exercícios, nos quais tentativas e erros foram observados. Por exemplo, entre 8 e 12 exercícios do tipo x2 . x3 = x5 foram necessários para trabalhar o exemplo xn . xm. Os problemas de um tipo tinham que ser semelhantes o suficiente para que os alunos os combinassem em um único tipo. Eles tinham dificuldade em se abstrair de expressões numéricas concretas e só gradualmente passaram a resolver problemas com dados de letras. Foi difícil para eles entender a essência de uma prova geométrica, que é uma prova para um caso particular – uma figura específica – que indica que todos os casos análogos foram provados. Uma representação não usual ou incomum de uma figura desorganizava esses alunos, que então não podiam mais provar um teorema que era conhecido por eles.

Os alunos médios abordaram a generalização por meio da solução de exemplos nos quais os atributos não essenciais variaram. Assim, eles abordaram a solução da Tarefa Nº 8 na Série V de forma gradual e sequencial. Eles nem sempre encontraram a similaridade de tipo comum em problemas externamente diferentes por conta própria, mas o fizeram com sucesso com a ajuda do investigador. Para atribuir os problemas a um único tipo, geralmente não lhes bastava apenas analisar sua estrutura. Só depois de resolverem primeiro os problemas e depois compararem os rumos das soluções é que os atribuíam a um único tipo. Eles passaram da prova simples para a complexa por estágios intermediários.

Os alunos capazes tinham características de generalização bastante diferentes. Após um primeiro contato ou uma solução de um exemplo no quadrado de uma soma eles resolveram todos os outros exemplos livremente, começando pelo mais remoto, destacando facilmente o tipo comum neles (Série V). Nos testes da Série VI, foi apenas com base em uma análise preliminar das estruturas dos problemas que eles encontraram rapidamente sua similaridade de tipo. Eles encontraram as diferenças em problemas externamente semelhantes, mas matematicamente diferentes, com a mesma facilidade. Eles tomavam conhecimento do tipo de prova, via de regra, após a resolução apenas do primeiro problema – ou seja, “na hora” (Série IX). Diante de um problema específico, procuravam antes de tudo descobrir sua “essência”, distinguir as linhas principais abstraindo-se de suas características particulares – de sua forma concreta. “Assim, ao resolver o primeiro problema concreto de um determinado tipo, eles – se assim se pode expressar – estavam resolvendo todos os problemas desse tipo” (KRUTETSKII, 1976, p. 247-248). O modo de atividade mental de alunos capazes difere qualitativamente da solução de problemas por outras crianças. Os alunos capazes analisaram cuidadosamente o primeiro problema concreto, esforçando-se para delinear a conexão interna entre suas condições (isso é peculiar à generalização teórica). Normalmente, a capacidade desses alunos de generalizar os métodos de solução, seus princípios de abordagem dos problemas, afeta sua alta eficácia na resolução de problemas matemáticos atípicos e fora do padrão.⁽¹³⁾

Krutetskii (1976) destaca os seguintes quatro níveis de generalização com base nos materiais experimentais:

1) alunos que não conseguem generalizar o material de acordo com atributos essenciais, mesmo com a ajuda do investigador e após exercícios intermediários de prática de um único tipo;

2) alunos que podem generalizar o material de acordo com atributos essenciais nas condições indicadas em (1), mas que cometem erros específicos;

3) aluno que generaliza o material de acordo com atributos essenciais por conta própria, mas após vários exercícios e com erros insignificantes (uma generalização sem erros surge quando há dicas insignificantes ou perguntas sugestivas);

4) alunos que generalizam de forma independente o material correta e imediatamente, na hora (sem treinamento na resolução de problemas de um único tipo).

De acordo com as peculiaridades da solução de problemas nessas séries indicadas acima, os sujeitos de cada grupo foram atribuídos a um certo nível de generalização. Os dados resumidos são mostrados na Tabela 4 (KRUTETSKII, 1976, p. 178).

Assim, o segundo nível de generalização é típico de muitos alunos medianos em suas habilidades, mas apenas o nível 1 é típico da maioria dos alunos incapazes. Nenhuma das crianças desses grupos resolveu os problemas em qualquer série no nível 4 – ou seja, por generalização na hora, que fundamenta a solução de problemas fora do padrão e atípicos.

Voltemos nossa atenção para a distribuição dos alunos nas turmas A e I da Série VII, em que se verificou o potencial de passagem da resolução de problemas com dados numéricos para a resolução de problemas com letras. Por um lado, é nessa série que o maior número de alunos fez as tarefas do terceiro e segundo níveis de generalização (o teto dos respectivos grupos) em ambos os grupos. Isso foi revelado de forma particularmente distinta no grupo A, em que mais da metade dos alunos trabalhou no nível 3. Isso indica que esses alunos do sexto ano dominaram mais ou menos o uso de símbolos de letras, que são introduzidos com os princípios da álgebra. Por outro lado, outros números são indicativos junto com esse. Assim, 45,9% dos alunos do grupo A fizeram as tarefas da Série VII no segundo nível de generalização – ou seja, com a ajuda do investigador e eliminando gradativamente os dados numéricos. Já no grupo incapaz, 77,3% dos alunos (nível 1) não conseguiram fazer as tarefas com alguns dados de letras.

Em outras palavras, um número significativo de alunos do sexto ano teve problemas para trabalhar no nível de símbolos de letras (em um nível abstrato), ou não trabalhou nesse nível, embora os princípios da álgebra já tivessem sido introduzidos, de acordo com o currículo. Krutetskii (1976, p. 253-254) também escreve diretamente sobre isso, descrevendo as características da atividade mental de alunos médios e incapazes:

Sempre foi muito difícil para nossos alunos se abstrairem de expressões numéricas concretas. Nossos alunos tiveram dificuldade (alguns mais, outros menos, mas todos tiveram dificuldade!) de entender a própria essência da álgebra, que é uma operação com abstrações numéricas. Foi difícil para eles entender que as letras na álgebra são números privados de sua expressão concreta [...].⁽¹⁴⁾

Como foi observado acima, alguns dos alunos do quarto ano tiveram dificuldade em operar com números abstratos – eles tiveram que imaginar objetos concretos. Alguns sextos anos (e aparentemente o número não é pequeno) tiveram problemas para se abstrair de expressões numéricas concretas ao passar para símbolos de letras. Aqui, esboça-se uma única linha de dificuldades experimentadas por crianças em diferentes níveis de instrução, quando há necessidade de usar meios de expressar uma quantidade abstratamente para permitir a designação de quaisquer coleções de objetos concretos (números abstratos) e quaisquer números concretos (letra símbolos). Esse tipo de tendência prolongada de confiar na concretude dos alunos não é uma consequência direta da própria metodologia de ensino, que se baseia na teoria tradicional da generalização?

Cada estágio de abstração, aqui, depende de um grande número de concepções variáveis ou casos particulares, e emerge como resultado de um delineamento gradual do que é semelhante ou comum neles. Uma compreensão desse elemento geral pressupõe um tratamento repetido de concepções semelhantes. Assim, as crianças são obrigadas a lidar constantemente com materiais concretos, mesmo quando aparentemente têm destacado o que é geral, pois esse elemento geral deve ser ilustrado; além disso, uma característica particular que deve ser variada sempre pode ser encontrada no material. Os alunos não percebem uma distinção clara entre o concreto e o abstrato. Esse limite fica ainda mais confuso porque a substância do abstrato e a operação com ele também podem ser reproduzidas diretamente em material concreto (o número 10 pode ser dividido, mas 10 objetos também podem ser divididos). Em tais situações, é difícil para a criança dominar a natureza específica de uma abstração, as peculiaridades qualitativas de operação com ela. Essas circunstâncias não incitam objetivamente os professores a reduzir em grande medida a natureza abstrata da matemática, a provocar o mascaramento artificial dela, conforme indicado por J. Dieudonne?

Como o aluno do quarto ano está constantemente se encontrando em situações que ditam tal método de aprendizagem, ele pode não compreender a singularidade qualitativa dos números abstratos, e o aluno do sexto ano pode não entender o significado dos símbolos das letras.

Um grupo comparativamente pequeno de alunos foi estudado no trabalho de Krutetskii (1976) (anteriormente descrevemos materiais pertencentes a 96 alunos do sexto e sétimo anos, mas esse trabalho estudou um total de 192 indivíduos de 6 a 10 anos de idade). Estudos de grupos muito maiores de crianças são necessários para revelar com mais precisão as distribuições básicas para grupos de acordo com certos níveis de generalização (os próprios critérios para esses níveis requerem comprovação particular). No entanto, em nossa opinião, os dados existentes indicam certas características típicas na generalização do material matemático que são inerentes a determinadas categorias de alunos. Há motivos para pensar que a abordagem empírica do material típico do primeiro e segundo níveis de generalização é uma das fontes das muitas dificuldades experimentadas por alunos com habilidades de aprendizagem médias ou baixas.

Estudos em psicologia educacional mostram que um conhecimento de matemática, bem como um conhecimento de qualquer outra coisa, é dominado lentamente, e é fracamente transferido para novas condições, se os alunos são incapazes de encontrar generalidade interna entre coisas e fenômenos externamente semelhantes. Eles destacam até mesmo uma semelhança externa por meio de muitos exercícios de um tipo, quando os detalhes no material são variados e tendem a repetir operações estereotipadas em situações bem conhecidas que apenas requerem identificação.

Os psicólogos observaram repetidamente os fatos relativos à generalização na hora, mas não atribuíram a eles o significado teórico adequado (de que outra forma explicar a pequena quantidade de pesquisa dedicada a fazer um estudo especial deles?).⁽¹⁵⁾ Esses fatos vão além da estrutura das visões estabelecidas sobre a formação de qualquer generalização e sobre suas condições necessárias. Eles também quebram os métodos habituais de organização da aprendizagem. Claro, o número comparativamente pequeno de crianças que têm o dom para esse tipo de generalização permite que ela seja classificada entre os fenômenos de habilidades especiais ou superdotação, enquanto a escola, basicamente, ensina crianças comuns. Entretanto, é ainda mais importante estudar os mecanismos de funcionamento da generalização de um tipo especial, bem como as condições de sua formação entre alunos capazes. Além disso, é importante tentar ter uma compreensão mais profunda das pré-condições internas para a formação do método ordinário de generalização na maioria dos outros alunos. Tais estudos permitirão, a seu tempo, desenhar um tipo de ensino que, por um lado, desenvolva ativamente nas crianças os tipos e níveis de generalização mais produtivos e, por outro lado, deles dependa constantemente em todas as os processos de organização da aprendizagem.

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Notas de rodapé:

(1) N. A.: Materiais extensos para esse tópico podem ser retirados de muitos trabalhos especialmente dedicados a problemas no domínio da matemática na escola (veja, por exemplo, Dubnov [1965], Krutetskii [1976], Menchinskaya [1955], Menchinskaya e Moro [1965], Khingan [1963], Jersild [1946], Erdniev [1966], Relatório da Conferência de Matemática de Cambrige [sem autor - 1963], A Revolução da Matemáticas na escola [- sem autor - 1963], etc.). (retornar ao texto)

(2) N. A.: Não estamos falando de quebra-cabeças que exigem engenhosidade especial, inventividade e um avanço nas visões habituais sobre uma situação, mas de problemas que se aproximam daqueles que já foram resolvidos, e cujas características não permitem que sejam atribuídos precisamente a um certo tipo familiar. (retornar ao texto)

(3) N. T.: O texto refere-se ao que comumente chamamos de problemas, em português. Em outros idiomas, o que chamamos continhas ou operações (contas montadas) também são chamados de problemas. (retornar ao texto)

(4) N. A.: O autor do estudo aponta que as diferenças entre os números 81 e 59, 73 e 56 são estatisticamente confiáveis. (retornar ao texto)

(5) N. T. A lista de referências não traz nome de autor ou editor. (retornar ao texto)

(6) N. A.: Como Menchinskaya (1955, p. 360) observou, a necessidade de uso de “técnica de abstração” no ensino de matemática é reconhecida por professores praticantes. Em particular, Bogolyubov (1955) tem alguns trabalhos nessa área. (retornar ao texto)

(7) N. A.: Com relação à esfera da aritmética, Menchinskaya e Moro (1965, p. 24) escrevem o seguinte: “Uma condição necessária para a formação de generalizações adequadas pelos alunos é a variação (mudança) dos atributos não essenciais [...] enquanto preserva os essenciais como constantes, inalterados”. (retornar ao texto)

(8) N. A.: Por enquanto, estamos apenas verificando a impropriedade de generalização empírica absolutizante. Ao mesmo tempo, os diferentes tipos de generalização e o lugar ocupado entre eles por generalizações de natureza teórica devem receber consideração especial. Em particular, é importante correlacionar a generalização desse tipo com aquela delineada por Krutetskii e outros autores, e chamada de generalização in loco (essa questão foi tratada nos capítulos 7 e 8). (retornar ao texto)

(9) N. A.: Em seu trabalho, Krutetskii se baseia nos resultados de sua própria pesquisa e em materiais de outros psicólogos que observaram diferenças significativas no número de exercícios que os alunos precisam para que ocorra a generalização. Assim, na formação do conceito de solução de um determinado tipo de problema de física, esse número oscilará entre 2 e 88 para diferentes alunos (KALMYKOVA, 1961); durante a formação de um algoritmo para resolver certos problemas matemáticos, entre 1 e 22 (MASHBITS, 1965); durante a formação de um método generalizado de resolução de problemas aritméticos de um determinado, tipo entre 2 e 19 (MENCHINSKAYA; MORO, 1965). (retornar ao texto)

(10) N. A.: Trata-se de alunos com relativa incapacidade para a aprendizagem da matemática (estudar isso, para eles, é consideravelmente difícil, apesar da sua diligência e zelo). Alunos com habilidades medianas gastam muito tempo e esforço para trabalhar com sucesso, experimentando suas maiores dificuldades em problemas de um novo tipo (para os critérios para delinear esses grupos, ver Krutetskii [1976]). (retornar ao texto)

(11) N. T.: Os testes eram agrupados em séries. (retornar ao texto)

(12) N. A.: Esses testes ainda envolviam complicações relacionadas à introdução de atribuições especiais na diferenciação da fórmula para o quadrado de uma soma de outras fórmulas, bem como atribuições variantes, mas aqui, estamos indicando apenas o esquema principal para a metodologia. (retornar ao texto)

(13) N. A.: Um problema interessante envolve averiguar a natureza da própria capacidade de generalização in loco. É dada atenção especial no livro de Krutetskii (1976, nas páginas 262-263 e em outras). Voltamos a essa análise no Capítulo 7, onde descrevemos em detalhes as características desse tipo de generalização. Por enquanto, porém, é importante apenas delinear e comparar os diferentes tipos de generalização observados em estudantes. (retornar ao texto)

(14) N. A.: Fatos semelhantes que indicam as dificuldades dos alunos da sexta série em operar com dados de letras estão contidos, por exemplo, em um trabalho de Aleksandrov (1956). (retornar ao texto)

(15) N. A.: Até agora, as bem conhecidas descrições de generalização in loco têm se preocupado com problemas em física e matemática. Teoricamente, pode-se presumir que também é possível com outro material (aqui, alguns dados experimentais já foram obtidos [DAVYDOV; PUSHKIN; PUSHKINS, 1973]). Ao mesmo tempo, deve-se ter em mente que algumas abordagens teóricas para a análise dos mecanismos desse método de generalização já foram delineadas na psicologia geral do pensamento (ver Capítulo 6). (retornar ao texto)